从一道题的错解说弹簧振子

冯德强 黄 雄

（江阴市南菁高级中学 江苏 江阴 214400）

1 对原题分析

【原题】如图1（a）所示，一根轻弹簧左端固定，右端系一物块，物块置于摩擦不能忽略的水平面上．现将弹簧压缩到A点后释放，物块运动到B点时速度变为零，O为弹簧处于自然长度时的位置，AB距离为x0．物块从A到B的过程中，弹簧弹力的大小F，物块加速度的大小a，物块速度的大小v，物块和弹簧组成的系统机械能E随物块的位移x变化的图像可能是图1（b）中的

图1

原答案为选项B，C，D．

解析：事实上正确答案只有D．

以弹簧为原长时物块的位置O为坐标原点，物块运动轨迹为x轴，向右运动时，物块在O1处所受合外力为零；向左运动时，物块在O2处所受合外力为零．当物块处于O1O2之间的区域时，所受弹力的大小应小于最大静摩擦力，在此区域物块一旦速度为零，便永久停止在那里．

现在，物块由A处静止释放向右运动，由于滑动摩擦力应为常量，物块做简谐运动，其中心点为O1，设为x＝－x0，如图2所示（图像中的箭号表示过程进行方向）．物块一直运动到最右端B1，这时其速度变为零，B1和A关于O1对称．

图2

物块由B1向左运动时不再是上述的简谐运动，因为这时摩擦力反向，平衡位置变为O2，其坐标x＝x0，直到运动到左端B2．依此类推，直至速度为零时，物块落在O1O2之间．由于最大静摩擦力通常大于滑动摩擦力，所以物块最后静止不动时所处的范围通常大于O1O2．

物块每次振动过程均为周期相同的简谐振动的一部分，一个振动过程历时半个周期；每次单向振动的振幅递减2x0．物块加速度与位移的关系图像如图2所示．无论物块最后停在弹簧原长O的左侧抑或右侧，图线总关于过O1（O2）的纵轴对称，故原图B不成立．

若取平衡位置O1为坐标原点，设物块在位置x时的速度为v，简谐运动的振幅为A，则由动能定理得

显然物块的速度v和位置坐标x的关系不是线性的，不论坐标原点取在哪里，都不会改变速度与位置坐标两者的非线性关系，如图3所示，其中ω2＝．故原图C不可能成立．

图3

2 弹簧振子

水平方向的弹簧振子，物体所受回复力与位移成正比．竖直方向的弹簧振子，系统虽受恒力（重力）作用，但仍然是简谐振动．如果以静平衡位置为原点，则振动系统如同没受重力作用的水平方向的弹簧振子．该题虽有摩擦力作用，但单向运动可等效于竖直向的弹簧振子，从全过程看仅是平衡位置不断变换，振幅不断减弱，振动周期保持不变．

以下再看双振子的弹簧振子．

【例1】一轻弹簧两端固连着两个小球A和B（图4），若将小球B固定，测得小球A的振动频率为fA．若将小球A固定，测得小球B的振动频率为fB．现将此系统自由地放在光滑水平面上，则此系统的自由振动频率为多大？

图4

解析：假如两小球的距离在初始时刻偏离一下平衡位置，以后不再加外力，那么两个小球就会振动起来，两个小球振幅不同（与其质量成反比），以质心为基准，以同频率做反相的振动．

设两小球质量分别为mA和mB，引入系统的折合质量μ，令

当mAmB，质心基本上与mA重合，只看到mB在振动，而其折合质量μ→mB，这就回到了一端固定的单振子的情形．

单振子的振动频率

因此双振子的振动频率

3 弹簧振子与碰撞

【例2】如图5所示，一个弹簧的两端分别固定着质量为m的物体A和质量为2m的物体B，置于光滑水平面上．水平向左的力F把它们挤在竖直墙边．撤去F，在相对地面静止的坐标系中，物体B首先开始运动，后来物体A也开始运动．此后，当A的运动速度达到最大值时

A．弹簧的弹性势能是零

B．物体A和B的速度相等

C．物体B的速度最小

D．处在弹簧的长度正在缩短的过程中

图5

解析：撤去F，物体B首先开始运动，弹簧恢复原长时其速度为v，这时A离开竖直墙边开始运动，以后A，B和弹簧组成双振子系统．与上述同频率反相的谐振动不同的是，系统的质心速度不为零

物体A开始运动后，由于系统不受外力作用，质心速度保持不变．以质心为参考系，A，B仍是同频率反相的谐振动，且在此参考系中，系统的总动量恒等于零，两物体的速度与质量成反比．据此作出地面参考系下，物体A和B的速度图像，如图6所示．从图像可得到如下的信息：

（1）物体A，B振动周期，由前述（3）式决定；速度的最值由对质心系的零动量确定；以及每一时刻物体A，B在地面参考系中的速度．

（2）系统在某一时刻，弹簧对应的状态，拉伸或是压缩，原长、最长还是最短．

这样容易得到本题的正确答案为A，C，D．

图6

还可引发碰撞问题的类比思考．如图6所示，从t＝0到t＝t1，弹簧由原长到最长，如果此刻弹簧锁定，就相当于两个相互碰撞的物体，在碰撞后结合在一起，并以一个整体进行运动，动能损失最大，这部分动能转变为势能，形变完全不恢复，形成完全非弹性碰撞．从t＝0到t＝t2，弹簧由原长到原长，如果此刻两物体分离，相当于物体碰撞时储存的弹性势能在分离时又全部释放出来，形成弹性碰撞．实际碰撞应在t1t2之间某时刻锁定形变，形变部分得到恢复，损失一部分动能．

4 偶极振子与电磁波及光的散射

设有两个小球质量各为mA，mB，分别带有相反的等量电荷，之间有一个“虚拟”的弹簧相连，这个系统称偶极振子，如图4所示．偶极振子是一个最简单的发射电磁波的“天线”模型．带电小球的振动形成频率f的周期振荡，f由（1）、（3）式决定．这时便会向空间发射电磁波．

天空为什么是亮的？因为大气把阳光向四面八方散射；组成大气的分子中的电子受到强回复力的作用，就有一个确定的固有频率，这个固有频率，一般在紫光和紫外线的范围内．在可见光的驱动下，这些电子做受迫振动，蓝光的频率比红光的频率更接近束缚电子的固有频率，因此蓝光的散射更强．所以天空看起来是蓝色的．而在清晨或傍晚，阳光穿过较厚的大气层，一路上那些蓝、紫光都被散射了，透射过来的主要是红光，所以我们才能看到绚丽似火的朝霞或晚霞．

可见，一个简单的弹簧振子模型，可推广到不同的题型，应用到不同的领域．