探究传送带模型中两者共速后保持相对静止的条件

在高中物理的连接体问题中,同学们见多了当相互连接的两个物体达到共速后保持相对静止一起运动的情况,往往会形成思维定式,认为连接体中二者共速后一定保持相对静止一起运动。然而在实际问题中并不总是如此。那么当连接体内的两个物体共速后保持相对静止的条件是什么呢? 下面以传送带模型为例探究这个问题。

图1

例题如图1 所示,传送带水平放置,传送带的长度L=16m,以v=10m/s的速度沿顺时针方向转动。将质量m=1kg的物块轻轻地放在传送带左端,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s2。求物块在传送带上运动的时间。(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

解析：物块受到传送带对它的向右的滑动摩擦力产生加速度a=μg=5m/s2,当物块与传送带共速时,物块的位移10m＜L,所用时间之后物块将做何种运动取决于其受力情况,需要分三种情况进行讨论。①若物块继续受到向右的摩擦力,则物块将继续做加速运动,此后物块的速度必将大于传送带的速度,根据摩擦力与相对运动方向的关系可知,物块受到的摩擦力向左,这与假设相矛盾,因此物块不可能继续受到向右的摩擦力;②若物块受到向左的摩擦力,则物块的速度将减小,且小于传送带的速度,同理可知,物块受到的摩擦力向右,这与假设也矛盾,因此物块不可能受到像左的摩擦力;③若物块不受摩擦力,则物块在水平方向上受力为零,将以与传送带一样的速度做匀速直线运动,符合实际情况。因此当物块与传送带达到共速后,两者保持相对静止一起做匀速运动,所用的时间t2=总时间t=t1+t2=2.6s。

变式1：保持例题中的其他条件不变,将传送带与水平方向成θ=30°角倾斜放置,且将物块与传送带间的动摩擦因数改为μ=求物块在传送带上运动的时间。

解析：物块沿传送带斜向下滑动时的加速度a=gsinθ+μgcosθ=12.5m/s2,当物块加速到与传送带共速时,物块的位移x=4m＜L,所用时间t1=0.8s。物块和传送带共速后,假设二者保持相对静止,则物块需要受到传送带对它的斜向上的静摩擦力f=mgsinθ=5N,而传送带能提供给物块的最大静摩擦力fmax=μmgcosθ=7.5N＞f,假设成立。之后物块做匀速运动,所用时间t2=1.2s。总时间t=t1+t2=2s。

变式2：保持例题中的其他条件不变,只将传送带与水平方向成α=37°角倾斜放置。求物块在传送带上运动的时间。

解析：物块沿传送带斜向下滑动时的加速度a=gsinα+μgcosα=10m/s2,当物块加速到与传送带共速时,物块的位移x=5m＜L,所用时间t1=1s。物块和传送带共速后,假设二者保持相对静止,则物块需要受到传送带对它的斜向上的静摩擦力f=mgsinα=6N,而传送带能提供给物块的最大静摩擦力fmax=μmgcosθ=4N＜f,即传送带无法给物块提供那么大的静摩擦力来让二者保持相对静止,因此物块将继续加速下滑,加速度a'=gsinα-μgcosα=2m/s2。在之后的加速运动过程中,物块的位移满足解得t2=1s。总时间t=t1+t2=2s。

小结：如果传送带水平放置,则二者共速后一定能保持相对静止;当传送带倾斜放置时,二者共速后是否可以保持静止取决于传送带能够提供的最大静摩擦力与两者相对静止时物块需要受到的静摩擦力的大小关系。