二阶拟线性抛物型方程极大值原理的一个简单应用

焦云芳

(晋城职业技术学院， 山西 晋城 048026)

偏微分方程与生产实践紧密联系，如它密切联系着物理学、力学和工程技术的许多问题，但我们都知道，非线性偏微分方程的求解是很困难的，于是不通过求解方程而获得有关问题解的信息(如解的爆破性，解的先验估计、解的梯度估计、以及偏微分方程边值问题解的存在性，唯一性，正则性等)[1]就显得尤为重要，本文应用二阶拟线性抛物型方程:

βt(u)=Δu+f(x,t,u)

解的泛函:

V(x,t)=g(u)ut+h(u)

在第一边值问题中的极大值原理[2-4]来讨论解的爆破性.

定理1作为二阶拟线性抛物型方程βt(u)=Δu+f(x,t,u)解的泛函V(x,t)=g(u)ut+h(u)在第一边值问题中的极大值原理[1]的一个推论：

定理1 假设u是问题:

(1)

的充分光滑正解，并且满足下列条件：

(b)对于0

有：

从而：ΔJ-2(logg′)′u

(2)

由条件1)可知式(2)右端非正， 从而由抛物型方程的极大值原理知：J只能在t=0或∂Ω获取极小值.

由条件2)得：J(x,0)=Δu0+f(u0)-δf(u0)≥0.另外，注意到：

u=0，∂Ω×(0,T)上，有:ut=0，∂Ω×(0,T)上，从而J=0，在∂Ω×(0,T)上.

(3)

当：

于是：-(G(u))t≥δ，Ω×(0,T)内,两边积分得：G(u(x,t))-G(u(x,T))≥δ(T-t),

例1 设u是问题：

例2 设w是问题.

的光滑正解,令eαw=u,则上述问题可转化为:

参考文献:

[1]Sperb R P.Maximum principles and their Application[M]. New York： Academic Press,1981.

[2]焦云芳.关于泛函V(x,t)=g(u)ut+h(u)的极大值原理[J].吉林教育学院学报，2010(11)：153-154.

[3]Zhang Hailiang，Zhang Wu．Blow-up rate of positive solution of uniformly parabolic equation with nonlinear boundary conditions[J].Ann of Diff Eqs,2003,19(3):439-444.

[4]林长好. 一类二阶抛物方程解的极值原理和界[J]．中山大学学报，1986(3):50-54.