强极值原理中辅助函数的构造

汪全珍, 李树生

(安徽大学数学科学学院,合肥 230039)

强极值原理中辅助函数的构造

汪全珍, 李树生

(安徽大学数学科学学院,合肥 230039)

通过分析极值原理在强极值原理证明中的作用,研究如何构造其证明中的辅助函数. [关键词]极值原理;强极值原理;辅助函数

1 引 言

在《偏微分方程》的本科教学中,调和方程这一章是理论内容最为丰富的一章,也是相对难的一章,在其许多定理的证明中都构造了辅助函数,虽然证明中所用到的知识都只是微积分,但对学生来说,这种技巧性的证明消化起来还是有一定的难度.如果在课堂上不去分析辅助函数的构造,启发学生去思考问题,而只是照搬照抄地教,学生的学习兴趣势必会受到影响.

在教学过程中,我们发现虽然《偏微分方程》的教材很多,但是不管是一般形式的的强极值原理还是调和方程的强极值原理的证明都采取了与Evans[1]教材中一样的辅助函数的构造,见[2]-[4].事实上,通过下面的分析我们会看到,这种辅助函数的构造对于简单的调和方程的强极值原理的证明来说过于复杂,而且与前面的教材内容——可去奇点定理的证明衔接的不紧凑.

2 主要结果

我们先看调和方程的强极值原理的证明分析.

定理(强极值原理)[3]设在半径为R某一球上(包括球面内)给定一个连续函数u(x,y,z),它在此球内是调和的,并且对此球的所有内点(x,y,z),成立着u(x,y,z)＞u(x0,y0,z0),其中(x0,y0,z0)是球面上的某定点.如果函数u(x,y,z)在点(x0,y0,z0)沿方向v的方向导数存在,而方向v与球的内法线方向成锐角,则在(x0,y0,z0)成立

分析 这个定理的证明思想就是构造一个函数v,使得u-v满足:

(i)在M0(x0,y0,z0)点附近u-v≥0且u-v|M0=0;

如果能够找到这样的函数v,则由(i)知,

再由(ii)立即可知所要证明的结论成立.

那么如何去寻找v呢?首先看看径向函数中有没有可能存在,即是否存在形如v(r)的函数v.假设存在,下面我们来看要对v(r)提出哪些条件,它就满足条件(i)和(ii)了.

先看条件(ii),由

和cos(v,r)＜0知,条件等价于

满足上面条件的v是非常容易构造的,例如严格单调递减的C1函数.所以,关键是看条件(i)还是要对v提出什么样的要求.由于M0点在球面上,所以我们不妨用区域R-δ0≤r≤R来表示M0点附近,这里0＜δ0＜R是任意取定的常数.这样条件(i)就转化为此区域上的u-v≥0且u-v|M0=0.不难构造v(R)=u(M0)的函数,所以关键是构造在区域R-δ0≤r≤R上满足u-v≥0的函数v.而在此区域边界上满足条件的v是不难构造的,但是现在这个不等式还是在此区域内部也成立,自然就想到了能否通过极值原理来实现这个难题.从而如果u-v满足

条件(i)中的第一部分就满足了.

由已知对任意的M∈BR,都有u(M)＞u(M0),再由u的连续性可知u|∂BR≥u(M0).从而

其中c2＞0足够小,使得c2(R-δ0)p-c2Rp≤m-u(M0)成立.

通过上面的分析,我们看到调和方程的强极值原理的证明中,极值原理对辅助函数的构造起着至关重要的作用,证明中的绝大部分是在说明极值原理是如何运用的,正是从此角度出发,我们认为没有必要像一般的极值原理证明中[4]取

这样做反而会使较简单问题的证明变得复杂,也不利于学生的理解.

注 对于n维调和方程的强极值原理的辅助函数的构造可以完全类似的讨论,也只要v满足条件(1)-(4),但n维情形下的条件(3)相应地更改为

[1] Evans Lawrence C.Partial differential equations[M].Providence,Rhode Island：American Mathematical Society, 1998.

[2] 陈祖墀.偏微分方程[M].合肥：中国科学技术大学出版社,2002.

[3] 谷超豪,李大潜,等.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.

[4] 陈恕行,秦铁虎,等.数学物理方程[M].上海：复旦大学出版社,2002.

O175.2

C

1672-1454(2011)03-0176-03

2008-05-12

安徽省自然科学基金项目(070416225);安徽大学211博硕建设项目(02203104)