复习课贵在例题的精心设计

●

(菱湖中学 浙江湖州 313018)

复习课贵在例题的精心设计

●俞永锋

(菱湖中学 浙江湖州 313018)

对于数学学科的高考备考复习，例题教学显得尤为重要，因为它贯穿着整个数学教学的始终，许多教学的重点、难点以及学生不太明白的知识点、易错点等都需要通过例题教学来强调、落实.因此，如何设计复习课的例题就成了每位数学教师所关注的一项基本工作，它直接关系着整个复习的有效性.笔者结合自身的教学经历，反思复习课中例题设计需要注意的几个问题，与同行探讨，不当之处，请不吝赐教.

1 要注意针对性，体现“补偿性”

我们知道复习课的一个主要目的是“查漏补缺”，需针对性地对学生较薄弱的概念性、知识性和方法性模块进行“补偿性”教学，以巩固“双基”，提高教学的有效性.因此在复习课例题的设计上要注意针对性.

案例1笔者在函数的单调性与导函数的复习课上，先设置了下面2个小题.

(1)若函数f(x)=x3+x2-ax在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围为________;

解(1)f′(x)=3x2+2x-a≥0在区间[2,4]上恒成立，则

f′(x)min=f′(4)=16-a≥0，

解得a≤16.经检验，当a=16时也符合题意，故a≤16.

设置这2个小题的原因是，平时在批改作业与练习卷时，笔者发现学生对以上类型的题目在求解上有2种观点.一种观点认为：函数在区间D上单调递增(减)，则导函数在此区间上恒大于(小于)0；另一种观点认为：导函数在此区间上应大于(小于)等于0.笔者经过分析发现其原因有新授课时对此类问题对比辨析教学的不到位,也有学生在阅读教材时，将“导函数在区间D上大于(小于)0，则函数在此区间上单调递增(减)”，从而误认为逆命题也必成立.

通过这2个小题，结合图像，完善此类问题的求解策略及注意点，函数f(x)在区间D上递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间D上恒成立，并需对f′(x)=0的参数值进行检验，即判断此参数值是否使f′(x)在此区间上恒等于0.若是，则不符合.因为f′(x)=0恒成立，表示f(x)为常数函数，不具有严格的单调性；若此参数值只是使f′(x)在离散的一些点上等于0，则不影响f(x)的单调性，此参数值可取.

在复习课上，要让学生注意概念的形成过程，对概念要从多角度、多方位、深层次地理解，掌握其各种等价的表达形式.在新授课时，概念教学一般从正面入手，这是必需的，但也容易使学生的认识带有片面性.针对这种情形，在复习课时，教师可有意识地精心安排易错案例，从不同角度全面透彻地理解概念.

2 要注意试题与例题的差异性，体现情景的“可能性”

笔者在复习课的研究活动中听了多节单元复习课和高三复习课.在听课中，笔者发现多个相同的例题在单元复习课和高三复习课中同时出现，还有不少例题非常熟悉，都是没有经过任何修改的历年高考题、调研题或某练习题.这种纯“拿来主义”的做法是否恰当?试题和例题在概念和内涵上是否一致?对一个知识板块的复习课，是否需要通过频换例题才能达到巩固的目的?这些都是平时所应关注的.

试题与例题之间存在着功能差异.试题体现的是考查功能，是抽查.因此，作为试题不可能也不必要做到面面俱到，它往往侧重于对某一知识、某一技能或某一思想方法的考查，带有一定的“片面性”.而复习课中的例题承载的是复习与巩固、查漏与补缺的功能，并需具有一定的预见性，体现“高效性”、“低碳性”与“完整性”.

案例2若对任意的x∈[1,3],使得x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，则实数a的取值范围为(-∞,2].

此题有2种基本求解策略：主元法即分类讨论法和参变分离法.

其实，我们只需简单地对区间稍加改变，就会收到意想不到的效果.

改编若对任意的x∈[-2,0]，使不等式x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，则实数a的取值范围为[-4,2].

如上改编后，不仅完善了参变分离法的可能情景，使解法更具有一般性.并且在完成解题教学后，可及时对最后结果取“交集”和“并集”的不同展开探讨.

方法2在参变分离时，以x+1是否为0、是否正负对区间[-2,0]分3个部分求解，每一种情形只在所讨论的区间上原不等式恒成立，只有在完成三步的讨论后，原不等式才满足在整个区间[-2,0]上恒成立，是分步思想，最终结果取“交”集.

通过此例，不仅使学生巩固了2种基本的求解策略，而且很好地渗透了分类与分步的数学思想.

复习课安排的例题既要体现解题方法的训练和解题技能的培养，又要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法.不仅要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，形成解题模式，达到“以一当十”的目的.

3 要注意典型性、普遍适用性，体现“通性通法”

美国著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”.“一题多解”就是从不同的视角、不同的方位审视并分析同一问题中的数量、位置关系，用不同解法求得相同结果的思维过程.通过探求同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，从而培养学生的创新思维意识.

复习课例题的设计，要体现背景的典型性和解题策略的普遍适用性;要具有通性，避免思维限制.

但是，在直线与圆的位置关系复习课中，如果不讲几何法和代数法，笔者认为丧失了教学的重点与本意，是“捡了芝麻丢了西瓜”.

改编已知直线l过点(0，2)，且与圆：x2+y2=4相交于点A，B，O为坐标原点，求△OAB面积S的最大值，并求出此时直线l的斜率.

在复习课例题教学中，教师对例题必须精挑细选，使方法具有普遍性和多样性，以最少的选题保证教学的有效性与高效性.

4 既要使学生形成“思维定势”，又要突破“定势思维”

在高三的例题复习中，我们希望学生能形成解题模式，因此特别重视思维定势的形成，忽视了定势思维形成后的突破.思维定势的形成，使思考者在思考同类或相似问题时，能省去许多摸索、试探的步骤.这样既可以缩短思考时间，减少精力耗费;又可以提高思考的质量和成功率.但定势思维的形成却又导致了思维的呆滞化，解题缺乏灵活性.因为无论对于新问题，还是对于所熟悉的问题寻求新的解决方案，一般都需要在探索、尝试的基础上，先提出多种思路，再筛选出最佳方案，从而实现思维的创新.复习课例题的设计既要使学生形成“思维定势”，又要突破“定势思维”.

定势思维因为{an}为等差数列，所以

则

3c=2(c2+c)，

解得

突破1因为{an}为等差数列，所以

2a2=a1+a3，

即

化简得

2c2-c=0，

解得

由以上案例，我们看到复习课中不仅要培养学生的定势思维，更重要的是定势思维形成后的突破.在例题教学中，教师要时常设置一些发散性的问题，使学生产生或提出尽可能多、尽可能新、尽可能独创的想法，使学生原来形成的定势思维得到突破，培养学生的创造性思维.

5 要注意回归教材，又高于教材，体现“导向性”、“可探究性”

《考试说明》强调对基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.高考试题中易、中、难题的比例一般都控制在3∶5∶2左右.复习课例题的选择回归教材为的是落实“三基”，体现基础性；高于教材为的是选拔人才，体现能力性.我们知道，高考试题虽不直接取材于课本，但考查的知识却大多来自课本或间接涉及课本习题或改编自课本例习题或这些问题的结论或推广，因此以课本例习题为素材，感知问题的发生、发展过程，明晰问题的来龙去脉，寻求问题的解决办法，探求结论推广的可能性，揭示问题的本质特征，对于学生和教师而言都是非常有必要的.

案例6过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线与此抛物线交于2个不同的点A,B，且2个交点的纵坐标分别为yA,yB，求证：yAyB=-p2.

图1

探究4(改焦点准线为极点极线)设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，极点P(t,0)，极线l:x=-t，点C为此抛物线上的任意一点，过点P的直线交抛物线于点B,C，直线AC,BC分别交极线l于点M,N，则点M,N的纵坐标之积为定值-2pt(如图1).

(1)求E的方程；

(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

(2010年四川省数学高考文科试题)

性质设圆锥曲线E的一个焦点为F，相应的准线为l，C为曲线E上的任意一点，过点F且斜率不为0的直线与曲线E交于点A，B，直线AC，BC分别交准线l于点M，N，则以MN为直径的圆过焦点F.

从课后的谈话中笔者了解到，学生对于探究性问题的教学普遍持欢迎态度.因为这类问题活跃了他们的思维，并且这种由易到难、由简单到复杂的阶梯式设计符合学生的认识规律和心理特征，有利于提高学生的学习积极性.对于此问题串，笔者选择以抛物线为载体，原因在于新课标中对椭圆和双曲线的第二定义(涉及准线问题)不作考查要求，故改为抛物线.而我们知道椭圆、双曲线和抛物线同为圆锥曲线，在许多性质上都具有共性，这为我们的探究和改编提供了可能.通过以上案例，不难发现，高考试题往往源于教材，又高于教材，往往针对固有的结论或它的推广进行变式考查.这就要求教师“能立足教材，并以教材为起点，更好地开发教材的功能，创造性地开展教学”，教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量.

例题教学是复习课的主旋律，如何设计例题，从而达到“解一题，通一类”是我们不懈努力的目标.以上，笔者从自身的教学经历对复习课例题的设计需要注意的地方做了几点反思，希望与同行探讨，共同研究复习课例题的设计问题，使数学复习教学更加高效.