探究单摆加速度与摆角的关系

刘权

(苏州市陆慕高级中学 江苏 苏州 215131)

1 建立单摆模型

如图1(a)所示，小球质量为m，绳长为L，单摆的摆角为α，将小球在A位置静止释放.

图1

2 理论推导

设某时刻单摆的位置如图1(b)，此时单摆的偏角为θ，小球的速度为v，小球的加速度为a，则有

(1)

(2)

(3)

联立(1)、(2)、(3)三式，得

a2=4g2(cosθ-cosα)2+g2sin2θ

将上面表达式做无量纲处理，得

(4)

3 绘图

结果如图2所示.

图2

结论：从以上三种情况看，单摆加速度大小变化与摆角α有关．选取单摆从最低点θ=0到最高点θ=α的运动过程，将单摆加速度大小变化分为三类.

类型一：单摆加速度大小不断增加 (摆角α=30°时情况)；

类型二：单摆加速度大小先减小后增大(摆角α=60°的情况)；

类型三：单摆加速度大小不断减小 (摆角α=90°的情况).

4 定量分析

对表达式(4)进行处理，得

(5)

(1)当α=90°时， 单摆的偏角θ从零增加到α时，根据表达式(5)可以看出单摆加速度大小变化属于类型三(单摆加速度不断减小).

5 图像分析

根据上述定量分析知道：α=41.41°是临界角.

图3

图4是对图3在0°≤θ≤4.2°范围内的图像做了放大处理.

图4

图5

图6是对图5在0°≤θ≤10°范围内的图像做了放大处理.

图6

从图5和图6中发现单摆的加速度在0°≤θ≤41.4°的范围内的确是不断增加的.

6 最值讨论

(1)当α=90°时，单摆在最低点(θ=0°)加速度最大，在最高点(θ=α)加速度最小.

(2)当0<α≤41.41°时，单摆在最低点加速度最小，在最高点时加速度最大.

(3)当41.41°<α<90°时，讨论单摆加速度的最值情况.

2)单摆加速度最大值要么在最低点θ=0°，要么在最高点θ=α.

根据表达式(5)，设单摆在最低点和最高点加速度相等，

根据表达式(5)得知：

当41.41°<α<53.13°时，单摆在最高点加速度最大.

当53.13°<α<90°时，单摆在最低点加速度最大.