三阶Levi-Civita 张量在量子力学中的应用

徐晓梅 李云德

(云南师范大学物理系 云南 昆明 650500) (云南大学物理系 云南 昆明 650091)

众所周知，量子力学现在已经发展成为现代高科技的理论基础.然而，由于量子力学基本概念及处理问题的方法与大家所熟悉的经典物理有较大的差别，因此，初学者在量子力学学习过程中会遇到许多困难. 最常见的困难之一是不知道如何解习题.尽管为解决这个问题，已出版了许多习题解答方面的著作，如比较流行的文献[1].但是由于这些解答所用的方法通常比较灵活，学生不容易掌握.我们根据多年的教学经验，对量子力学中力学量对易关系的证明类习题给出一般解法，以期帮助学生克服解此类习题的困难. 这里给出的一般解法，不仅对于初学者有用，而且对于有一定基础的大学高年级学生以及研究生在学习高等量子力学时，在加深对量子力学的理解和提高应用量子力学解决问题能力方面，都具有启发和益处.

1 Levi-Civita张量的定义及其基本性质

Levi-Civita张量为三阶完全反对称单位张量，其定义为[2]：

εαβγ=1，其中α，β，γ为1，2，3的偶对换；εαβγ=-1，其中α，β，γ为1，2，3的奇对换；εαβγ=0，其中α，β，γ中有两个以上指标相同. Kronecker张量定义为

在下面的讨论中采用下列求和约定

(1)

(2)

(3)

在此求和惯例下Levi-Civita张量所满足的关系可简写为

εαβγεαβγ=6

(4)

εαβγεαβλ=2δγλ

(5)

εαβγεαλδ=δβλδγδ-δβδδγλ

(6)

量子力学中坐标、动量、角动量的基本对易关系可简写为

[xα,pβ]=iћδαβ

(7)

[lα,lβ]=iћεαβγlγ

(8)

[lα,xβ]=iћεαβγxγ

(9)

[lα,pβ]=iћεαβγpγ

(10)

2 Levi-Civita张量的应用举例

利用上述10个基本等式，原则上可以很方便地处理量子力学中有关矢量、张量算子的点乘积、叉乘积、对易子等联合运算.学生无需看习题解答即可完成文献[2～4]中第四章的大部分习题.现举例说明上述公式的应用.在下边的例题证明中用到了一些简单的恒等式，如pili=ljpj=0，εijkpipj=0.这些式子从基本对易关系式(7)～(10)很容易得到证明.以下我们将列举一些在量子力学习题中较难的习题，说明用Levi-Civita张量解题的方法.

【例1】求证：(l×p)2=l2p2

先把式中左边的算子利用公式(1)写成第α分量形式；然后利用公式(2)将叉乘积用Levi-Civita张量展开；最后再利用公式(6)把Levi-Civita张量表示成Kronecker张量，化简即可得到证明.

证明：原式左边=

(l×p)α(l×p)α=εαβγεαλδlβpγlλpδ=

(δβλδγδ-δβδδγλ)lβpγlλpδ=

lβpγlβpγ=lβ(lβpγ-iћεβγηpη)pγ=l2p2

【例2】求证：-(p×l)·(l×p)=

l2p2+4ћ2p2

此题的证明方法与例1相似.在中间的运算过程中，为了得到与右边相同的形式而多次利用了动量-角动量的对易关系式(10).

证明：原式左边=-(p×l)·(l×p)=

-(p×l)α(l×p)α=-εαβγεαλδpβlγlλpδ=

(δβδδγλ-δβλδγδ)pβlγlλpδ=pβlγ(lγpβ-lβpγ)=

(lγpβ-iћεγβηpη)(lγpβ-lβpγ)=

lγpβ(lγpβ-lβpγ)-iћεγβηpη(lγpβ-lβpγ)=

lγ(lγpβ-iћεγβδpδ)pβ-iћεγβη{(lγpη-iћεγητpτ)pβ-

(lβpη-iћεβημpμ)pγ}=

l2p2-ћ2εγβηεγητpτpβ+ћ2εγβηεβημpμpγ=

l2p2+4ћ2p2

【例3】求证： (l×p)×(l×p)=-iћlp2

此题只要对其中一个分量加以证明即可.为此，利用公式(2)将上述等式的左边的一个分量写出来加以证明.

证明：原式左边=[(l×p)·(l×p)]α=

εαβγ(l×p)β(l×p)γ=εαβγεβλδεγμνlλpδlμpν=

(δαδδγλ-δαλδγδ)εγμνlλpδlμpν=

εγμν{lγ(lμpα-iћεμαηpη)pν-lα(lμpγ-iћεμγτpτ)pν}=

εγμνlγlμpαpν-iћεγμνεμαηlγpηpν-εγμνlαlμpγpν+

iћεγμνεμγτlαpτpν=iћlνpαpν+iћ(δγαδνη-δγηδνα)·

lγpηpν-2iћδντlαpτpν=-iћlαp2

【例4】求证：p×(l×p)=lp2

此题在文献 [2～4]中有误(详见文献[2～4]中第四章习题15).

证明：对式中左边的第α分量证明即可.

原式左边=[p×(l×p)]α=

εαβγpβ(l×p)γ=εαβγpβεγλδlλpδ=

(δαλδβδ-δαδδβλ)pβlλpδ=pβlαpβ-pβlβpα=

{lαpβ-[lα,pβ]}pβ=lαp2

【例5】设J为角动量算符，A为矢量算符，且满足代数关系[Jα,Aβ]=iεαβγAγ(这里为简单起见，取ћ=1).证明：

(1)J×(J×A)=(J·A)J-J2A+iJ×A

(2)[J2,[J2,A]]=2(J2A+AJ2)-4J(J·A)

证明：(1)对等式左边的第α分量证明即可.

原式左边=εαβγJβ(J×A)γ=

εαβγεγλρJβJλAρ=(δαλδβρ-δαρδβλ)JβJλAρ=

JβJαAβ-JβJβAα=Jβ(AβJα+iεαβλAλ)-JβJβAα=

JβAβJα-JβJβAα+iεαβλJβAλ=

(J·A)Jα-J2Aα+i(J×A)α

(2)对等式左边的第α分量证明即可.

原式左边=

[J2,[J2,Aα]]=[J2,[JβJβ,Aα]]=

Jβ[J2,[Jβ,Aα]]+[J2,[Jβ,Aα]]Jβ=

iεβαλ{Jβ[JγJγ,Aλ]+[JγJγ,Aλ]Jβ}=

iεβαλ{JβJγ[Jγ,Aλ]+[Jγ,Aλ]JγJβ+

Jβ[Jγ,Aλ]Jγ+Jγ[Jγ,Aλ]Jβ}=

-εβαλεγλρ{JβJγAρ+AρJγJβ+JβAρJγ+JγAρJβ}=

-εβαλεγλρ{2JβJγAρ+2AρJγJβ-iεγρμJβAμ+

iεγρνAνJβ}=(δβγδαρ-δβρδαγ){2JβJγAρ+2AρJγJβ+

εβμνAν-iεγρμJβAμ+iεγρνAνJβ}=2JβJβAα+

2AαJβJβ-2JβJαAβ-2AβJαJβ+2iεαβμJβAμ-

2iεαβνAνJβ=2JβJβAα+2AαJβJβ-

2(JαJβ-iεαβλJλ)Aβ-2(JαAβ-iεαβλAλ)Jβ+

2iεαβμJβAμ-2iεαβνAνJβ=

2JβJβAα+2AαJβJβ-4JαJβAβ=

2(J2Aα+AαJ2)-4Jα(J·A)

【例6】求证：

证明：对式中左边的第α分量证明即可.

原式左边=

此题的证明过程中利用了恒等式

可以看出，以上的解题过程是程式化的.利用上述10个基本等式，先将力学量之间矢量、张量的点乘积、叉乘积、对易子等联合运算分解为分量的运算，这样就把复杂的矢量、张量运算简化为简单的乘积运算；同时，要注意力学量的非对易性质，算子之间交换位置必须利用对易关系.

最后需说明，利用Levi-Civita 张量只是简化了矢量的运算，在量子力学中矢量、张量运算必须同时满足矢量、张量及对易子运算规则.此外，Levi-Civita 张量在经典电动力学中的应用，同样也可以使许多看起来无从下手的问题简单化.

参考文献

1 钱伯初，曾谨言. 量子力学习题精选剖析(卷Ⅰ). 北京：科学出版社，1999. 94～110

2 曾谨言. 量子力学(卷Ⅰ). 北京：科学出版社，2000.175～244

3 曾谨言. 量子力学导论. 北京：北京大学出版社，2003. 251～259

4 曾谨言. 量子力学(卷Ⅰ). 北京：科学出版社，2007. 121～153

5 马中琪. 物理学中的群论. 北京：科学出版社，1998. 4～5