一道模拟网络电阻的习题

许 槑

（中国科学院 北京 100190）

问题：各线电阻均为12Ω的12根导线构成一立方体的十二条边，如图1所示．请问此立方体任何两角之间的最大电阻是多少？

图1

解答：两角之间的最大电阻为10Ω．

首先考虑相距最远两角A与H之间的电阻．施加一电压于A，H之间，从对称可知角B，C和D均处于相等之电压．因此，可以将B，C和D三个角联结起来形成A与（B，C，D）之间三个并联的电阻12 Ω，其结果得出电阻为4Ω．同理，将E，F和G联结起来得出H 与（E，F，G）之间的电阻也是4Ω．从而见到（B，C，D）与（E，F，G）之间被六个并联的12Ω的电阻联结着，两者之间的有效电阻为2Ω．最终得出A与H 之间的电阻为（4＋2＋4）Ω＝10Ω．

其次，还要证明任何比A与H为近的两角之间的电阻都小于10Ω．虽然结论是明显的，但详细讨论一下是有益的．在A与E之间施加一电压，从系统的对称性可知角（B，C）与角（F，G）处于等电压，G与C或F与B之间均无电压差，从而G－C与F－B两根导线可以去掉，于是得出一个对于链环A－（B，C）－E（12Ω）与链环A－D－（G，F）－H－E（36 Ω）并联的网络．这样，得出A与E之间的电阻为9 Ω．

最后，考虑靠得最近的两个角A与B之间的电阻．当一电压施加于A，B之间时，角（D，C）与角（F，E）分别处于等电压，故D－G，C－G及E－H，FH 4根导线均可移去，出现了一个A－B（1 2Ω），A－D－F－B（36Ω）与A－C－E－B（36Ω）并联的网络．从而得出A，B间的电阻为

从上述解题过程可得出下列有助于对电网分析的4条小结：

（1）具有相同电压的点可以连接起来．

（2）连接相同电压之点的电阻可删除．

（3）删除节点之间的电阻不会降低电网中任何两点之间的电阻．

（4）在两节点间加入一电阻不会增加电网中任何两点间之电阻．

参照上述思路解下列两题：

［题1］电阻值均为6Ω的6个电阻构成四面体的六条边，求两顶角之间的电阻．

［题2］6个电阻，阻值分别为1，2，3，4，5和6Ω建构成一四面体的六条边．证明：两顶角间最小可能的电阻小于0．763Ω．

注：本 文 译 自 Gran Grimvall，Brainteaser physics．challenging physics puzzlers （2007）problem 1．7 Resistor Cube．

附：两道电阻题的解

图1

［题1］施加一个电压于等价的平面化了的网络（图1）之A与B之间．连杆CD可以删除，因为两者有相同的电压．这样就形成6Ω，12Ωt 12Ω，从而得出A，B之间的电阻为3Ω．

［题2］我们不寻求得出有效电阻的精确值．只是证明该电阻小于0．763Ω．让四面体“平面”化如图1所示，删除虚线所表示的连杆CD．设AB＝1，AC＝2，CB＝3，AD＝4及DB＝5（单位均为Ω），则得到一总电阻为1．5Ω和9Ω的电阻之并联耦合．从而A，B间的总电阻为而剩下的电阻（6Ω）置于CD之间，开出了一条电流的新通道，使A，B之间的有效电阻被降低，低于0．763Ω．