用于宽带频谱感知的全盲亚奈奎斯特采样方法

盖建新 付 平 乔家庆 孟升卫③

①(哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 哈尔滨 150080)

②(哈尔滨理工大学测控技术与仪器黑龙江省高校重点实验室 哈尔滨 150080)

③(中国科学院电子学研究所 北京 100190)

1 引言

认知无线电通过感知周围频谱环境自主发现“频谱空穴”并对其进行有效利用，在解决无线通信中频谱资源紧张、频谱利用率低等问题上表现出巨大的优势。宽带频谱感知技术可以在较短的时间内为认知无线电提供更多的频谱接入机会[1-3]，以压缩感知(CS)理论[4,5]为基础的宽带频谱感知技术以其采样率低并可精确重构等特点受到了广泛关注[6-8]。这些方法以离散化频谱的稀疏性为前提，实现了基于亚奈奎斯特采样的宽带频谱感知，缓解了采样率高的压力。然而，当需要实现较高的频率分辨率时，由于测量矩阵维数过大，数据处理负担繁重，导致感知速度较慢；另外，在频谱重构阶段需要确切的稀疏度信息，而稀疏度在实际的频谱环境中是无法准确预知的。因此找到一种测量矩阵较小，不需要准确稀疏度的亚奈奎斯特采样方法，是宽带频谱感知技术当前急待解决的问题。

近年来出现的调制宽带转换器(MWC)采样方法[9]，不需对频谱进行离散化，利用低维的测量矩阵即可实现对多带信号的亚奈奎斯特采样和精确重构。若采用MWC作为采样前端可以缓解CS方法的计算负担。但现有的MWC理论须已知频带数量和最大带宽才能构建MWC系统并进行频谱重构。实际的无线频谱中，特定时间内占用的频带数量是无法准确预知的，而且由于相邻信道可能同时被占用，导致最大频带宽度也是未知的。针对无线频谱上述的不可预知性特点，本文将无线电发射信道模型和频谱多带模型相结合，对MWC适用的信号模型进行了重新定义，在此基础上提出了一个不需最大频带宽度和确切频带数量的重构充分条件。在重构算法方面，将稀疏度自适应匹配追踪算法进行推广并应用到频谱重构中以消除对频带数量的依赖性。最终实现了既不需要各频带宽度，也不需要准确频带数量的宽带频谱全盲亚奈奎斯特采样，数值实验验证了该方法的有效性。

2 MWC采样理论

2.1 采样原理

MWC是一种多带信号亚奈奎斯特采样方法，其具体采样原理如下。如图1所示，输入信号x(t)同时进入m个通道，在第i个通道被周期为Tp(频率为fp)的伪随机符号序列pi(t)混频，混频后采用截止频率为1/2Ts的理想低通滤波器h(t)进行滤波，最后通过采样率fs=1/Ts的ADC获得m组低速采样yi(n)。由经典傅里叶分析思想可以推导出第i个通道输出序列yi(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)与x(t)的傅里叶变换X(f)之间有如下关系：

其中cin表示序列pi(t)傅里叶级数的系数，L0=

图1 MWC采样系统框图

其中Φ是m×L矩阵，Φin=cin且m＜L。若对式(2)两端同时进行DTFT的逆运算，可得未知序列Ζ(n)与测量值Y(n)之间的线性关系：

其中Y(n)= [y1(n),y2(n),…,ym(n)]T,Z(n)=[z1(n),z2(n),…,zL(n)]T,n∈Z。由于m＜L，式(2)和式(3)均是欠定的，无法通过求逆的方法获得唯一解。考虑到多带信号在频域的稀疏性，z(f)中只有少量的非零元素，当满足如下定理给出的充分条件时，式(2)具有唯一的最稀疏解。

定理1[9]设多带信号x(t)由N个频带组成，各频带中最大带宽为B，按照图1所示的MWC结构进行采样，如果以下条件成立：

(1)fs≥fp≥B并且fs/fp数值不是很大；

(2)一个周期内序列pi(t)的符号(±1)间隔数M

(3)m≥2N；

(4)矩阵Φ的任意2N列线性无关。

则对于 ∀f∈Fs,z(f)是式(2)的唯一的N-稀疏解。

2.2 重构方法

当多带信号中各个频带的位置已知时，联合支撑集Ω= s upp(Z(n))是确定的，如果矩阵ΦΩ满足列满秩则可以通过式(4)从采样值Y(n)中恢复出Z(n)：

其中ΦΩ表示以Ω中的元素为索引的Φ的列子集，代表矩阵ΦΩ的伪逆矩阵且。当Ω未知时需要将式(2)无限测量向量(IMV)问题[10]变换成与之具有相同支撑的多测量向量(MMV)问题[11]，然后，求解该MMV问题的支撑集Ω，最后按式(4)完成重构。

2.3 利用MWC理论进行宽带频谱感知需解决的问题

由定理1可知，构建MWC时，采样率fs及符号序列的频率fp选择的依据是最大频带宽度B。而在无线频谱环境中各个信道是可以相邻的，由于各信道占用的随机性，很难预测不相邻频带(每个频带可能由一个或多个占用的相邻信道组成)的最大带宽。另一方面，信道相邻导致无法预知特定时间互不相邻的频带数量N，而重构阶段需要以频带数(稀疏度)作为迭代的停止条件，才能通过贪婪算法(如同步正交匹配追踪)找到支撑集。针对上述问题，本文对认知频谱环境中信号模型进行了重新定义，并改进了频谱重构充分条件。

3 频谱稀疏信号全盲亚奈奎斯特采样

3.1 频谱稀疏信号模型

假设信号x(t)为带限于F=[-fNYQ/ 2,fNYQ/2]的实值连续时间信号，其中F由彼此相邻但不重叠的多个无线发射信道组成。如果信号x(t)的频谱X(f)由若干个带宽为Bi彼此不相邻的非零频带组成，每个频带包含一个或多个相邻发射信道，且频带可以任意地分布在F内，则称这样的信号集M为频谱稀疏信号。图2给出了M中典型的信号频谱。

图2 典型频谱稀疏信号的频谱示意图

3.2 盲谱重构充分条件

频谱稀疏信号模型弱化了传统多带信号模型中最大频带宽度B=m ax(Bi)和频带数量这两个参数的作用，将相邻子频带(信道)看成了一个频带。为了实现适合上述模型的亚奈奎斯特采样，本文将联合稀疏度引入重构条件中。

设参数化向量U(f)对于∀f∈Fs支撑集supp(U(f))= {k|Uk(f)≠ 0}，式中Uk表示向量U的第k个元素，则U(Fs)的联合支撑集可表示为：

改进定理假设x(t)是M中的一个任意信号，采用MWC系统进行采样。对于式(2)，如果以下条件成立：

(1)fs≥fp，并且fs/fp数值不是很大；

(2)一个周期内pi(t)的符号数

(3)m≥2K，其中；

(4)矩阵Φ的任意2K列线性无关。则z(Fs)是式(2)唯一的K-稀疏解。

证明由式(1)，式(2)可知，z(f)的每个分量都是X(f)的nfp移位、滤波所得到的宽度为fs的频谱片段，其中fp是每次移位的步进值。若fp≤fs成立，则每次移位的步进足够小，以至于z(Fs)中的频谱片段可以覆盖整个频谱。因此如果式(2)能够重构，则从重构的未知向量z(Fs)可以精确地恢复出整个频谱X(f)及原信号x(t)。

条件(2)是为保证符号序列pi(t)在一个周期内有足够的伪随机符号数，进而使所构成的矩阵有较大的Kruskal秩，具体证明参见文献[9]。

考虑式(2)与式(3)的等价性，只要式(3)具有唯一K-稀疏解，则对应可得到式(2)的K-稀疏解。易知向量组Y(n)所张成的空间的维数dim(span(Y(n)))≤K，因此可以找到空间span(Y(n))的一个框架V(n)，如果用V(n)代替式(3)中Y(n)则V(n)=ΦZ(n)与式(3)的唯一K-稀疏解具有相同的支撑集[10]。依据文献[12]中定理 2.2，有以下等价命题成立：对于满足V=ΦZ的联合K-稀疏的向量Z，如果Φ的任意2K列均线性无关，则Z为此方程唯一的K-稀疏解。于是通过此方程可以求得式(3)的支撑集，进而通过伪逆得到式(3)的唯一K-稀疏解。 证毕

本文所提出的改进定理相当于对定理 1的推广。定理 1通过要求fp≥B= m ax(Bi)将稀疏度与频带数量联系起来。由上述分析可知该条件不是必要的，当fp＜ m ax(Bi)时在改进定理条件下问题式(2)仍然可以精确重构。可见改进定理的提出使 MWC系统的构建摆脱了最大频带宽度的束缚。

3.3 频谱感知中MWC通道数的确定

本文所提出的改进定理使构建MWC时不再需要频带数量和最大频带宽度，但需要根据实际频谱对联合稀疏度进行估算，进而估计出所需的通道数m。

考虑fs=fp的基本配置情况，设在实际频谱中第i个频带Bi贡献到向量z(f)的非零元素数量记作I(Bi)。根据MWC采样的频域行为并考虑频带位置的随机性可得：所以整个频谱贡献到z(f)中的非零元素数即联合稀疏度满足如下关系：

应该指出，MWC通道数的确定并不需要准确的稀疏度K，实际中可以根据频谱监管部门频谱统计特征确定一个保守的范围(m≥ 2K)即可。

4 稀疏度自适应重构算法

在频谱重构的过程中如果不知道准确的稀疏度则容易出现稀疏度过估计或欠估计的问题，导致重构结果具有严重误差[13]。本文在原有MWC重构框架基础上将CS中的稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)算法引入到了无限测量向量(IMV)问题的求解中，在预先不知道确切稀疏度的前提下实现了支撑集的精确重构。图3给出了重构的总体框图。

图3 盲谱重构支撑集获取框图

如图3所示，重构时首先将IMV问题转化成具有相同支撑集的MMV问题。为此需先找到Y(n)所张成的空间的一个框架V(n)，具体求解方法如下：计算，并利用奇异值分解原理找到满足Fm×m=V⋅VT的矩阵V，则矩阵V即是所求框架[9]。然后将V作为测量值矩阵构建MMV问题。最后使用所提出的SAMP MMV算法求解该MMV问题的支撑集。

4.1 SAMP MMV算法描述

SAMP算法充分利用了“自底向上”和“自顶向下”重构思想的优点，可以在未知稀疏度的前提下实现精确重构[13]。本文把适用于CS的SAMP算法推广到了MMV问题的求解中，改进了SAMP算法中的初步测试和最终测试思想。改进后，用初步测试找出Φ中与Rk-1最相关的I个列的索引值Sk，最终测试将本次短支撑集Sk与上次最终集Fk-1进行合并形成2I个元素的候选集Ck，然后通过回溯思想从Ck中选出I个最优的向量作为本次迭代的最终集Fk。整个过程分为若干个阶段，且每个阶段均有若干次迭代，具体流程如表1所示。

4.2 SAMP MMV算法有效性分析

SAMP MMV算法采用回溯的思想使每个阶段都具有如下特点，即当前迭代的余项能量总比上一次迭代的余项能量小[13]。步骤 6的阶段转换条件保证了迭代中余项能量的单调递减性，使算法在每个阶段均向收敛的方向发展。当算法执行到阶段j时，最终集F的元素数量为js，可选的元素总数为L，因此F最多有种可能形式。如果迭代次数超过，则最终集开始重复，余项能量不再单调递减，算法转入下一阶段。可见该算法不会在任何阶段陷入无限次迭代。当算法执行到第阶段时便等效成估计稀疏度为的子空间追踪算法，其收敛性在文献[14]中已得到证明，故该算法在有限迭代次数内一定收敛。算法收敛时的稀疏度与真实的稀疏度K近似相等，从而在未知稀疏度的前提下实现了重构。当然重构中算法需经过个阶段的尝试，使计算复杂度略有增加。

表1 SAMP MMV算法流程

5 仿真实验及结果分析

为了验证本文方法的有效性，本节设计了 3个仿真实验：5.1节验证在定理1条件下SAMP MMV算法的有效性；5.2节在5.1节的基础上验证在改进定理条件下SAMP MMV算法的有效性；5.3节结合应用背景考察该方法的重构效果。实验中频谱稀疏信号均采用下式产生：

其中En,Bn,fn,τn分别代表所产生的第n个频带的能量系数、带宽、载波频率和延迟时间，n(t)为高斯白噪声。为了仿真实际MWC采样过程，用5倍奈奎斯特率的离散信号来表示连续信号，采用数字乘法和数字滤波运算来仿真模拟乘法器和模拟滤波器的实际处理效果，利用抽取的方法实现滤波后的采样过程。每个实验中，以下过程重复500次，将成功次数的百分率作为成功概率。

(1)采样系统的符号波形pi(t)按均匀分布随机产生；

(2)各个频带的载波频率fn在区间 [-fNYQ/2,fNYQ/2]内按均匀分布随机产生；

(3)重构时先将IMV问题转换成MMV问题，然后采用 OMP(正交匹配追踪)MMV 算法[12]或SAMP MMV算法来估计支撑集；

需要指出的是，与 SAMP MMV算法不同，OMP MMV算法需要利用稀疏度来控制迭代的次数。因此，涉及到OMP MMV算法时则使用确切稀疏度作为最大迭代次数，尽管该数值在实际中无法准确预知。

5.1 定理1条件下SAMP MMV算法的有效性验证

本节通过对比SAMP MMV算法和OMP MMV算法重构支撑集的成功率来说明在定理 1条件下即fs≥fp≥ m ax(Bi)时SAMP MMV算法的有效性。不失一般性，本实验以 4个频带的信号为例，具体参数设置如下：En={1,2};Bn= { 40,40}MHz;τn={0.75,1.88} μs ，载波频率fn随机地分布在 [-fNYQ/2,fNYQ/2]内,fNYQ= 1 0GHz。采样参数按照定理1设置：fs=fp=fNYQ/197= 5 0.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

图4分别给出了在不同信噪比条件下，当通道数m在区间[10, 50]内以1为步进变化时两种算法的重构成功率情况。从图中可以看出，当m＜20时，在无噪声情况下，SAMP MMV算法略优于OMP MMV算法，在有噪声情况下，这种优势变得不明显。当m≥20时，随着信噪比的降低，SAMP MMV算法的重构率优势趋于明显，如当m=30，信噪比为30 dB, 15 dB, 5 dB时，该算法的重构率分别比OMP MMV算法提高了1%, 2%, 4%。为了具体地说明重构效果，图5给出了当m=20,fn={3.53,4.71}GHz，信噪比为15 dB时该算法重构前后信号的时域和频域形式。如图所示，时域和频域的重构结果均较好地再现了原信号的波形与频谱。上述结果表明，在定理1条件下，SAMP MMV算法可以在不需要稀疏度的情况下实现精确重构，且总体重构率情况与OMP MMV算法相当。

5.2 改进定理条件下SAMP MMV算法的有效性验证

图4 定理1条件下算法重构成功率比较

图5 SAMP MMV算法盲重构时、频域波形比较

5.1节验证了在定理1条件下SAMP MMV算法的有效性，那么在改进定理条件下算法是否有效呢？本节针对fs≥fp＜ m ax(Bi)条件下的重构情况进行数值仿真。此时MWC原有重构算法不再适用，因此实验只观察SAMP MMV算法的重构率情况。本实验在 5.1节的基础上，提高频带宽度使Bn={80,80}MHz，信号其它参数及系统采样参数保持不变。

图6给出了信噪比为{-5,0,5,30} dB时重构成功率随采样通道数目变化的情况。可以看出，成功重构所需要的通道数随着信噪比的提高而减少。在信噪比为30 dB时，正如改进定理所述，只要满足m≥ 2K≈ 2 4则重构成功的概率接近于1。当信噪比降低时，则需要增加MWC的通道数来提高重构的成功率，如信噪比为5 dB, 0 dB, -5 dB时，分别至少需要28, 31, 41个通道。综上所述，SAMP MMV算法在未知稀疏度的情况下仍然可以实现高概率重构，表明该算法在改进定理条件下是有效的。

5.3 宽带频谱感知应用举例

本节应用全盲亚奈奎斯特采样方法，对认知无线电频谱进行感知，考察该方法在频谱感知应用中的盲重构效果。假设在某一时刻有10个主用户同时在带宽Sn= { 6,8,10,20,60,10,15,6,6,80}MHz的10个信道内进行通信，由于某些用户信道相邻，一共形成了12个(6对)频带，各信道的中心频率(载波)fn={1,1.007,1.016,2.5,2.54,2.575,3,3.1,3.3,4.58} GHz，信号的能量系数En= { 4,4,4,2,2,2,4,3,4,4}，环境噪声为加性高斯白噪声，将整个频带的信噪比设置在10 dB，图7(a)所示为其奈奎斯特采样率下频谱形式。

图6 改进定理条件下不同信噪比时盲重构成功率情况

采用的MWC参数配置如下：fs=fp=fNYQ/197=50.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

图7(b)给出了盲重构的频谱结果。从图中可以看出，尽管原信号中的最大频带宽度(80 MHz)超过了fp，在改进定理条件下，SAMP MMV算法在未知稀疏度的前提下仍然实现了较好的重构。由于重构算法只对找出的支撑集所对应的分量进行了恢复，而其它分量强制为零，因此在恢复的频谱中消除了大量噪声。此外，由于该算法具有稀疏度自适应的特点能够较好地克服过匹配问题，因而在恢复的频谱中只存在较少的杂波，达到了较好的恢复效果。

图7 宽带频谱感知应用实例

需要说明的是，为了直观地说明本文所提出的采样方法的重构性能，本节才恢复了完整的频谱。当该采样方法应用于宽带频谱感知时，只需重构出支撑集及其对应的低速采样值，然后根据其能量就可以进一步判断出各个频带是否真正存在主用户，而无需恢复出完整的频谱。限于篇幅，将在其他文章中继续研究。

6 结论

本文通过改进 MWC重构理论并引入 SAMP MMV重构算法，提出了一种可用于宽带频谱感知的全盲亚奈奎斯特采样方法。所提出的MWC重构充分条件消除了信号最大频带宽度对采样的约束。所提出的SAMP MMV算法在重构中可以不需要确切的稀疏度信息。实验结果表明，在未知稀疏度的前提下，该算法的性能与已知确切稀疏度时的OMP MMV算法相当，可以较好地实现盲谱重构。本文所提出的全盲亚奈奎斯特采样方法为宽带内多信道快速频谱感知提供了一种有效途径。

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