基于空频域稀疏表示的宽频段DOA估计

李鹏飞 张 旻 钟子发 罗 争

(合肥电子工程学院309研究室 合肥 230037)

(安徽省电子制约技术重点实验室 合肥 230037)

1 引言

在现代电子战信号环境中，由于信号密度大，信号形势复杂，使得电子侦察中的信号处理任务越来越困难。实际的测向装备，特别是无线电通信测向面临的是一个很宽的频段(如频率范围在30～3000 MHz)。为了提高测向的搜索速度，测向接收机的瞬时带宽朝着宽带的趋势发展，可以达到几十MHz，甚至上百MHz。在如此宽的瞬时带宽内，必然包含了很多不同频率的多种信号，如何对这些信号的方向进行实时、高精度的估计是一个巨大的挑战。直接利用传统的高分辨率测向算法如多重信号分类法[1](MUltiple Signal Classification, MUSIC)将会产生严重的估计误差，且无法获得信号的准确频率[2]。并且 MUSIC算法不能直接对相干信号进行处理，利用空间平滑的方法解相干将损失一定的阵列孔径。利用稀疏分解的方法进行 DOA估计具有很高的分辨率，不需要进行任何预处理，可以直接应用到相干信号上来，得到了国内外学者的广泛关注[3-6]。但是在进行宽频度DOA估计时字典的构造是一个难题，Malioutov等[5]提出了根据频率和方位角的组合构建联合字典的方法。随着频段的展宽，用于稀疏表示的过完备字典的长度随之增加。一方面，稀疏分解的计算量将随着字典的长度指数倍的增长[7]；另一方面，在宽频段的范围内很难保证过完备字典没有相同的元素，当存在相同或者相近的元素时，字典的相关系数接近于 1，稀疏分解的精度急剧下降[8]；另外，该方法能分辨的信号数目受到阵元数目的限制。

针对以上问题，本文引入空间频率的概念，将频率和方位角的2维空间降为空间角的1维空间。利用空间角构建稀疏表示的过完备字典，字典长度大大降低，减少了稀疏分解的计算量。为了提高算法在低信噪比的性能，摒弃了常用的在时域或频域的稀疏模型，对频域峰值协方差矩阵进行特征分解，利用主特征向量建立稀疏模型进行 DOA估计。算法从频域对信号的频域分布进行了预估计和分离，估计的信号数目能远大于阵元数目。

2 数学模型

2.1 阵列信号的数学模型

假设p个远场信号入射到阵元间距为r的M元均匀线阵上。第i个信号的方位角为θi，信号频率为fi。M个阵元接收到的信号写成一个矢量，可表示为

其中A(f,θ)是阵列流型矩阵，S(t)= [s(f1),s(f2),…,s(fp)]T为空间信号矢量，噪声矩阵N(t)是独立于信号的白高斯过程。阵列流型为

其中第i个导向矢量为

c为电磁波传播的速度。

对于具有相同频率的多个窄带信号fi=f2=…fp, 信号的阵列模型与式(1)描述相同。常规的测向方法多建立在测向接收机是窄带接收机的基础上，接收的信号可以看作是在中心频率附近很窄的频率范围内，因此这些算法可以直接运用。而宽带测向接收机具有很宽的瞬时测向带宽，在一帧的采样数据内，可能包含多个窄带信号或者宽带信号。MUSIC等算法处理起来难度就大大增加了，需要将整个宽频段划分为若干个窄带子频段，然后进行处理。这样在每个子频段需要根据中心频率的不同分别建立方向矢量，大大增加了存储的空间和计算量。同时该方法不能直接对相干信号进行处理，而利用空间平滑的方法解相干又将损失一定的阵列孔径。

2.2 基于稀疏表示的DOA估计模型

Malioutov[5]提出了一种利用信号稀疏表示进行DOA估计的方法。其主要思想是将信号的阵列流型矩阵扩展成一个过完备的冗余字典D，它包含了所有可能的源位置信息。令θ= {θ1,θ2, …,θN}代表所有可能的源位置的一个采样集合，θn代表信号的到达角度(DOA)，方向矩阵A可扩展成如下的过完备字典：

定义N×1的信号向量H={h1,h2,…,hN}，当且仅当源信号位于角度θn处，hn有非零值，其他分量均为零，可以得到DOA估计的稀疏模型为

然后利用基追踪(Basic Pursuit, BP)[9]等稀疏分解算法求得H，根据H中非零元素的位置可以得到信号的 DOA。为了进行宽频段 DOA估计，Malioutov[5]根据宽带范围内若干个频率点的导向矢量矩阵分别建立子字典，然后根据把这些子字典组合成一个新的字典。

从式(6)可以看出，随着频段的展宽，字典的长度极剧增长，稀疏分解的计算量也指数倍的增长。考虑同子字典中的两个元素a(fi,θi)、a(fk,θk)，当fisin(θi)=fksin(θk)时，a(fi,θi)=a(fk,θk)。此时，字典的相干度为1，稀疏分解的精度将很难保证[8]。

3 基于空间频率稀疏表示的宽频段DOA估计

3.1 基于空间频率的频域稀疏模型的构建

对于宽频段的 DOA估计，简单高效的冗余字典构造是一个迫切需要解决的难题。定义空间频率η=fircosθi/c，则式(3)可表示为

对于均匀线阵为了保证无模糊测向，要求fir/c≤0.5。因此空间频率的取值范围为 -0.5≤η≤0.5。根据空间频率的取值范围，设置N个采样点，就可以构建覆盖整个无模糊频段的过完备字典：

为了对宽频段范围内的多个窄带信号进行DOA估计，我们从频域构建DOA估计的稀疏模型。假设信号与噪声相互独立，中心频率为f的阵列协方差为

其中I为单位矩阵，RS(f)是频率为f信号的协方差矩阵。常用的稀疏表示 DOA估计方法大多是在时域或频域建立稀疏模型，容易受到噪声的影响。本文从子空间域建立DOA估计的稀疏模型，对R做特征值分解得

如果信号协方差矩阵的秩为K(K≤p)，噪声协方差矩阵RN=δ2I为满秩矩阵，则有如下线性关系[10]：

其中1≤k≤K,ek为特征矢量，hk(i)为线性组合因子。由式(11)可知，当噪声协方差矩阵为理想白噪声时，式(11)即简化为

式(12)说明无论信号源是否相干，大特征值对应的特征矢量是各信号源方向矢量的一个线性组合。令协方差矩阵的最大特征值为emax，则

根据式(8)的过完备字典，构建式(13)的稀疏模型。

其中H={h1,h2,…,hN}为N×1的信号向量，当且仅当源信号的空间频率位于ηn处，hn有非零值，其他分量均为零。对式(14)进行稀疏分解得到H,H中非零元素的位置就代表了空间目标的空间频率信息。不同于基于快拍数据稀疏分解的 DOA估计方法，特征值分解减弱了噪声的影响，而选取最大特征值对应的特征向量进一步减弱了噪声的影响，因此本文方法在低信噪比情况下鲁棒性较好。

3.2 基于频域峰值协方差矩阵的频率和角度估计方法

宽带接收机采集的一帧数据中，可能包含多个不同频率点的窄带信号。首先需要对不同频点上的窄带信号进行分离。如果利用等分的方法将宽频段分成若干子频段再针对每个子频段进行处理，将会对没有信号的子频段进行运算，白白增加了计算复杂度。因此本文根据信号在频域的分布特点，自适应地进行信号的分离，然后针对有信号的频点建立模型进行DOA估计。具体算法步骤如下：

步骤1 宽频段内窄带信号频率估计和分离

首先对阵列接收数据进行傅里叶变换，即对各通道的接收数据分别做N点FFT；其次，测频并获取频域样本，对任一通道FFT后的结果进行谱峰搜索，并记录谱峰值和相应的频点坐标fk，其它通道根据频点坐标取出相应位置的频域复数值构成相应的数据矢量y(nk)，称为频域快拍矢量。

其中S(nk)= [s1(nk),s2(nk),…,sp(nk)]为p个信号在频域nk的输出矢量。W(nk)= [w1(nk),w2(nk),…,wM(nk)]为噪声在频域nk的输出矢量。

步骤 2 基于频域峰值协方差矩阵特征向量的稀疏DOA估计模型

对式(15)中的频域峰值快拍矢量求协方差矩阵：

对式(16)进行特征值分解：

利用其最大的特征向量e，根据3.1节的变换构建DOA估计的稀疏表示模型：

其中D是利用空间频率构建的过完备字典。

步骤3 窄带多信号频率和DOA的估计

对式(18)进行稀疏分解，得到频域nk处信号对应的空间频率η= [η1,η2,…,ηp]。其中，p为频域nk处信号的个数。则频率nk处的信号的来波方向可以通过式(19)求得

重复步骤1到步骤3就可以得到所有宽频段范围内所有信号的频率和来波方向。

3.3 稀疏表示的求解

求解式(18)是一个稀疏分解的过程，找到最好的，也就是最稀疏的信号表示，等同于解决下述问题：

当上述模型含有噪声时，式(21)的约束条件不再适用，问题转化为最小化目标函数：

目标函数中前一项反映失配程度，后一项反映稀疏性要求。由于H是复数，它的l1范数为

可以发现式(23)的两边平方仍不能消除平方根项，直接导致我们不能使用二次规划的方式最小化目标函数。为了解决这个问题，我们采用二阶锥规划的方法，其转化形式为

利用内点法可以有效解决上述优化问题，得到式(14)中稀疏分解的系数，进而根据非零元素的位置求得信源的DOA估计值。

4 性能分析

本节主要通过理论和仿真实验对算法的性能进行深入分析，以探讨各种的因素对算法性能的影响。实验中，仿真某型号测向设备的参数，天线阵列采用的是5元均匀线阵，阵元间距为0.6 m，测向接收机的瞬时带宽为40 MHz，接收机的中频为70 MHz，采样频率为92.16 MHz。

4.1 有效性分析

假设 9个窄带信号入射到天线阵列，9个信号中有频率重叠的。信噪比为10 dB, FFT变换的点数为8192点。表1为目标的真实值和估计值；图1为频率和DOA估计结果。

图1 宽频段的频率和DOA估计结果

从表1和图1可以看出，本文方法对宽频段内的多个信号的频率和 DOA可以达到很高的估计精度。频率的估计误差小于50 kHz，角度的估计误差在1°以内。具有优越的工程应用价值。

表1 目标的真实值与估计值

表2是本文方法和文献[5]方法的性能比较。仿真环境：Matlab7.5 平台，Pentium 4处理器，1 G内存，接收机的瞬时带宽为 40 MHz。文献[5]方法中，每隔10 MHz抽取一个频点建立过完备字典，字典长度为1795；本文方法利用空间频率建立字典，字典长度仅为 201，却能覆盖整个频段。本文方法的角度和频率估计精度远优于文献[5]的方法，而运算时间却是后者的三十分之一。

表2 算法的性能比较

4.2 频率估计误差的影响

为了降低宽带稀疏分解时字典的长度，引入了空间频率的概念。定义为η=frs inθ/c，可以理解为信号频率和阵元位置引起时延的乘积。因此频率估计的误差会对来波方向的估计精度产生影响。信号的波达方向和频率存在如下的关系：

从式(26)可以看出，随着频率的升高，测频误差对 DOA估计的影响越小。假设有同频相干两个信号入射到天线阵列，信号的角度在0°～90°范围内随机产生，分析频率估计误差对 DOA估计精度的影响，图2为均方根误差随频率估计误差的变化曲线。每个频率估计误差下进行1000次独立实验。

从图2可以看出，随频率估计误差的增加，角度估计误差也随之增加。但是在频率估计误差小于1 MHz时，角度估计的均方根误差小于0.5°。目前基于 FFT变换的测频技术在采样点数足够的情况下，可以保证测频误差只有几Hz[11]。因此本文提出的方法可以忽略测频误差的影响。

4.3 信噪比的影响

本文提出的方法具有良好的抗噪声干扰能力，这与算法中采取的两个运算操作有关：

(1)算法在实现的过程中，利用N点FFT变换将信号从时域变换到频域。因为对于信号，该变换使信号相干积累，而噪声在整个频率均匀分布是非相干叠加，信噪比提高了N倍。

(2)在构建信号的稀疏模型中，采用的频域峰值协方差矩阵的最大特征向量。特征值分解减弱了噪声的影响，而选取最大特征值对应的特征向量进一步减弱了噪声的影响。

假设有同频相干两个信号入射到天线阵列，信号的角度在0°～90°范围内随机产生，分析信噪比对DOA估计精度的影响，图3为均方根误差随信噪比变化关系。每个信噪比下进行1000次独立实验。

从图3可以看出，本文方法对噪声具有良好的抑制能力。在信噪比-10 dB时，均方根误差达到0.6°；信噪比大于0 dB时，均方根误差小于0.2°。算法的良好抗噪声性能与理论分析一致。

4.4 同频信号功率不一致的影响

本文方法采用的是频域峰值协方差矩阵的最大特征向量作为稀疏分解的输入矢量，削弱了噪声的影响。但是对于同频率的两个信号，信号功率的不同会对其造成一定的影响。假设有两个同频但功率不同的信号入射到天线阵列，信号的角度在0°～90°范围内随机产生，分析分辨概率同信号功率比之间关系(如图4所示)。每个功率比下进行1000次独立实验。

从图4可以看出，强信号会对弱信号的估计产生一定的影响，但是这种影响对一般的应用场合影响不大。在强弱信号功率比小于200时，分辨概率大于80%，适用于大多数应用场合。对特殊应用场合，例如强干扰下的微弱信号 DOA估计，我们采取了归一化信号子空间的处理方法，将另文讨论。

5 结束语

对宽频段范围内的多个窄带信号进行频率和方位角的估计对于无线电测向特别是通信信号测向具有十分重要的意义。本文提出一种基于空间频率稀疏分解的宽频段估计方法。理论分析和仿真实验验证了本文方法对宽频段内的多个窄带信号可以达到很高的估计精度。该方法利用空间频率代替频率和方位角的2维组合构建过完备字典，字典的长度仅相当于窄带信号 DOA估计的字典长度，却可以覆盖整个测向频段；利用FFT变换和频域峰值协方差矩阵的特征向量大大降低了噪声的影响，估计的信号数目能远大于阵元数目。论文主要讨论对宽频度内的多个窄带信号进行来波方位估计，下一步将对多个相干或不相干宽带信号进行估计。

图2 均方根误差随频率估计误差变化关系

图3 均方根误差随信噪比变化关系

图4 分辨概率同信号功率比之间关系

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