基于半正定松弛的MIMO系统下行链路预编码方案

李新民 白宝明

①(西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室 西安 710071)

②(西安科技大学 西安 710054)

1 引言

近年来基于每个用户的信漏噪比(SLNR)的MIMO系统广播信道预编码技术得到了较多关注[1-4]。在基站完全已知信道状态信息时，文献[1]定义了各用户的信漏噪比，并给出了最大化信漏噪比时的预编码矩阵的闭式解，发现其比迫零(ZF)预编码方法具有更好的误码率性能和更高的系统和容量。文献[2]指出在低噪声方差时，最大化信漏噪比方法存在同道干扰抑制和噪声干扰抑制不平衡问题，提出将噪声方差项进行分段修正来设计预编码器，从而提高了系统的误码性能和容量。文献[3]将其结合Alamouti编码进行性能研究，并给出了在具有估计误差的信道状态信息时预编码矩阵的修正解。这些方法均利用广义瑞利商获得每个用户的预编码矢量，以使所有用户均具有最大的信漏噪比，然后利用矢量的2范数进行功率的归一化处理，从而控制基站的发射总功率。这类方法被称作最大化信漏噪比方法。文献[4]使各个用户的不同数据通道的SLNR更加均衡，提高了系统在高信噪比情况下的误码率性能。

本文分析发现每个用户功率归一化的功率控制方式降低了用户的信漏噪比，使其不能达到最大的可得信漏噪比。尤其在低噪声方差时，用户的实际信漏噪比下降得更大，带来误码性能的损失。因此本文提出信漏噪比约束下最小化发射总功率的预编码器设计，而不是追求用户的信漏噪比最大化。本文使用凸优化方法求解目标问题。

凸优化方法用于通信和信号处理中可以很方便地对于设计的目标问题进行分析和数值求解，所以得到了广泛的重视[5]，近年来逐渐被用来进行MIMO 系统广播信道的预编码器的设计[6-8]。文献[6]利用凸优化理论的方法设计了满足信干噪比(SINR)要求的多播信道发送波束形成矩阵，显示出凸优化理论能够有效解决波束形成问题。文献[7]在基站已知具有一定估计误差的信道状态信息时，利用半正定优化的方法给出了 MIMO广播信道预编码器的设计，从而使每个用户满足一定的信干噪比约束下最小化基站的发射总功率。文献[8]则利用半正定优化给出了已知部分信道状态信息时的Tomlinson-Harashima预编码器的设计。

本文利用半正定松弛方法求解满足信漏噪比约束下的最小发射总功率的预编码矩阵，并且要求其满足一定的功率控制门限，设计所得的预编码系统能够有效降低基站发射总功率并获得较好的系统误码率性能。

2 系统模型及问题的表述

考虑由一个基站和K个用户构成的广播信道模型，假定基站有nT根发射天线，每个用户均有1根接收天线，如图1所示。

本文考虑基站完全已知每个用户信道状态信息的情形。用户k接收到的信号为

其中dk为需发送给用户k的数据，(要求 E [|dk|2]= 1 ),pk为基站对用户k的nT维预编码列向量，hk为基站到用户k的无线信道响应矩阵，大小为1×nT。nk为落入用户k接收机的高斯白噪声，均值为零方差为。这样可定义用户k的信漏噪比为[1- 4]文献[1-3]均是求解使SLNRk最大化的pk，这是一个广义的瑞利商问题，即最佳的pk对应于矩阵对的最大广义特征值所对应的特征向量(H表示共轭转置)。然后进行功率归一化处理使满足：这样预编码后不增加发送天线的总功率。

图1 MIMO系统下行链路模型

观察式(1)中SLNR的定义，可以发现功率归一化有以下不足：(1)在噪声方差较小时，直接忽略其对SLNR的影响可以看出，功率归一化并不是有效的功控方法，发射功率有进一步降低的可能。(2)功率归一化后不能保证每个用户仍能得到最大的信漏噪比。表1给出了在不同噪声方差时功率归一化前后用户信漏噪比的比值的平均值，这是对1000个随机生成的瑞利衰落信道仿真所得。从表可见，功率归一化后用户的信漏噪比降低了，尤其在高信噪比时下降的幅度更大。

表1 功率归一化处理前后用户信漏噪比的比值

因此本文求解在SLNR约束下最小化基站的发射功率问题，以期给定较大SLNR门限时得到较好的系统性能，即求解

3 利用半正定松弛求解最佳预编码器

使用半正定松弛的理论求解目标问题。将式(2)代入式(3)得

式(4)是二次约束的二次优化问题(QCQP)，是一个NP-hard问题。本文利用半正定松弛(SDR)获得一个具有较好性能的近似解。首先将所有用户的预编码矢量依次组成一个KnT维的列向量。则式(4)可写为

这样求解的复杂度大大降低，可以使用内点法进行有效的求解。本文使用 MATLAB中运行的 CVX模块进行求解[9]。

但由于放松了正定约束条件，求解得到的矩阵X'往往并不能满足秩为1的要求。在所获得的X'基础上可以利用随机化方法得到一个性能满意的近似解。本文采用如下高斯随机化的算法[10]：

(1)对X'进行特征值分解，即X'=UHΣU；

(2)随机产生L个高斯分布的矢量ξl(l=1,…,L)，要求其服从均值为零，方差为X'，即可使ξl=UΣ1/2vl(其中vl服从均值为零，方差为单位阵的高斯分布)获得满足；

4 功率控制的考虑

按照高斯随机化过程得到的最佳解的范数极大，仍然需要利用预编码矢量的2范数进行归一化处理以控制发射总功率。和最大化信漏噪比一样，功率的归一化处理后降低了每个用户的信漏噪比的值。所以按式(3)设计预编码器时应使SLNR约束门限值γ0较大，以期功率归一化获得较大的信漏噪比，从而获得较好的系统误码率性能。

如果在目标问题中加入功率约束条件，即将求解的目标问题变为可以预见，只有在下行信道条件较好时，才能满足式(8)设计要求，利用良好的信道条件就有可能降低发射的总功率。上面的目标问题仍然可以利用与上节类似的算法进行求解，但功率约束大大降低了算法的可行性。因此可以在进行预编码设计时，首先求解带有功率控制的目标问题式(8)，这样可以利用较好的瞬时信道条件降低发射总功率；如果式(8)不可解，则转而求解不带功率控制的问题式(3)。本文这种求解过程称为混合功控方案。

另外，式(8)的目标问题中，给定的SLNR约束门限值要小，仿真发现SLMR门限值在1-5之间可获得较好的误码性能和算法可行性的折中。而求解式(3)时为了保证系统的误码率性能，给定的SLNR约束值要大，这是因为随后的功率归一化处理会大大降低实际的 SLNR 值，仿真发现 SLNR 值 在20-100之间为宜。

5 数据仿真

用仿真的方法对文献[1]和本文提出的预编码设计方案进行性能比较。在仿真中假定基站有3根发射天线与3个单天线用户进行下行链路的传输。下行信道服从瑞利分布。用户信息均使用BPSK调制，每个调制符号功率为 1。表 2给出了本文提出的方案在不同信噪比 SNR(| |pk||2/σn2k)下仿真所得的平均发射总功率，其中按式(3)，式(8)求解时选取Popt= 3,γ0=5，而在混合功控时，按式(8)求解时选取γ0=5,Popt= 3 ，按式(3)求解时选取γ0=100。表中括号内百分数表明在1000个随机产生的瑞利型衰落信道中能获得最佳解的概率。

由表2可见，随着信噪比的增加，基站的发射总功率不断降低，算法的可行性也不断提高。采用本文的混合功率控制方案，使算法更加可行，并且相对于最大化信漏噪比的方法，系统的发射总功率得到了降低，尤其在高信噪比时。

图2给出了本文提出的方案和最大化信漏噪比方案的误码率随信噪比的变化曲线。由图可见，按式(3)设计预编码器，指定的信漏噪比约束的门限值γ0越大，系统的误码性能越好，并且在γ0≥30时，系统的误码率性能要优于最大化信漏噪比的方案。在混合功控时，按式(8)求解时选取γ0= 1 00,Popt= 3 ，按式(3)求解时选取γ0= 1 00。由图可见，混合功控方案的误码率性能也是优于最大化信漏噪比方案的。

图3给出了式(8)方案的系统误码率随信噪比的变化曲线。由图可见，式(8)方案的误码率性能相对于式(3)方案更优，但结合表2可知，其能得到最佳预编码器的概率低，只是在下行链路瞬时信道条件良好时可解。因此可知，本文的混合方案正是充分利用良好的传输信道有效降低发射功率，从而降低了系统的平均发射总功率。

表2 不同SLNR约束下平均发射总功率及可解的概率

图2 各种方案的误码率性能

图3 式(8)方案的误码率性能

6 结论

本文利用半正定优化方法求解了用户信漏噪比约束下最小化基站发射总功率的问题，并且在目标问题中加入了功率控制的约束条件，从而有效地降低了基站的平均发射总功率。相比于最大化信漏噪比方法，所设计的方案具有更好的误码率性能和更低发射总功率。仿真结果验证了提出方案的有效性。

[1]Wu Y, Zhang J, Xu M,et al.. Multiuser MIMO downlink precoder design based on the Maximal SJNR criterion[C].IEEE Global Telecommunications Conference(GLOBECOM), St. Louis, Missouri. 2005, 5: 2694-2698.

[2]孟银阔, 殷勤业, 丁乐, 等. 一种多输入多输出系统下行链路线性预编码方法[J]. 西安交通大学学报, 2006, 40(10):1103-1106.Meng Yin-kuo, Yin Qin-ye, Ding Le,et al.. Research on a linear precoding method of multiuser multiple-input multiple-output downlink systems[J].Journal ofXi’an JiaoTong University, 2006, 40(10): 1103-1106.

[3]Sadek M, Tarighat A, and Sayed A H. A leakage-based precoding scheme for downlink multi-user MIMO channels[J].IEEE Transactions on Wireless Communications, 2007, 6(5):1711-1721.

[4]Cheng P, Tao M, and Zhang W. A new SLNR-based linear precoding for downlink multi-user multi-stream MIMO system[J].IEEE Communications Letters, 2010, 14(11):1008-1010.

[5]Luo Z Q and Yu W. An introduction to convex optimization for communications and signal processing[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2006, 24(8):1426-1438.

[6]Gershman A B, Sidiropoulos N D, Shahbazpanahi S,et al..Convex optimization-based beamforming[J].IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3): 62-75.

[7]Shenouda M B and Davidson T N. Linear matrix inequality formulations of robust QoS precoding for broadcast channels[C]. CCECE’2007, Vancouver, BC, Canada, IEEE Press, 2007: 324-328.

[8]Shenouda M B and Davidson T N. Nonlinear and linear broadcasting with QoS requirements: tractable approaches for bounded uncertainties[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(5): 1936-1947.

[9]Grant M and Boyd S. Cvx users’ guide for cvx version1.21[Z].http://c1319062. cdn. cloudfiles. rackspacecloud.com/cvx_usrguide.pdf, 2010, 7.

[10]Luo Z Q, Ma W K, Zhang S,et al.. Semidefinite relaxation of quadratic optimization problems[J].IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3): 20-34.