带交叉扩散项的捕食模型非常数正解的存在性*

王利娟，姜洪领

(1.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062;2.宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡 721013 )

本文考虑如下带交叉扩散项的捕食食饵模型：

(1)

其中u,v分别代表食饵和捕食者的密度，Ω是Rn(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域，∂ν表示单位外法向量的方向导数，边界条件表示它们生活在同一个封闭的环境，常数d1,d2分别是u,v的扩散系数，d2d3是交叉扩散系数，参数α,β,a,b,δ均为正常数。

对于捕食模型，国内外已有许多研究，并且取得了很多有意义的成果，诸如捕食问题正平衡态解的存在性、稳定性和惟一性、局部和全局分歧等。有关这些模型的背景、研究成果和进展，有兴趣的读者可参看文献[1-8]。对于d3=0且功能反应函数为Holling-Tanner型函数的模型，文献[9]利用Lyapunov方法研究了其平衡态正常数解的全局稳定性，文献[10]讨论了其非常数正解的存在性和不存在性。对于d3≠0即带有交叉扩散项的模型，文献[11]讨论了反应函数为Holling-Tanner型函数时模型平衡态正解的先验估计和非常数正解的存在性。但是Holling-Tanner型函数只与变量u有关，这是食物依赖型的反应函数，说明捕食者的捕食行为仅仅由食饵决定，这有悖于一些物种的实际观测结果。因此我们引入较Holling-Tanner更合理的Beddington-DeAngelis功能反应函数来进一步刻画生态系统，研究物种的共存条件。模型(1)对应的平衡态方程为：

(2)

其中d3≥0，记J=-▽(d2v+d2d3uv)=-d2d3v▽u-(d2+d2d3u)▽v，如果d3>0，那么-d2d3v▽u表示大群食饵者避开捕食者的侵害。对模型更详细的生物意义和背景可参看文献[ 4，12-14]。

显然，(2)有惟一的一个正常数解(u*,v*)，其中

v*=δu*,(m=a+bδ)

本文主要研究模型(2)非常数正解的存在性。

1 正解的先验估计

为了得到正解的估计，首先引入下面的两个引理。

Δw+c(x)w=0，x∈Ω;∂νw=0，x∈∂Ω

≤，≤

(3)

令w=d2(1+d3u)v，则w(x)满足方程

(4)

又由于(4)等价于

假设u(x),v(x)没有下界，则存在参数列(d1,i,d2,i,d3,i)=(d1,d2,d3)，其中d1,i,d2,i≥D1,d3,i≥0，使得模型(2)对应的正解列(ui,vi)满足

→0或者→0，i→∞

(5)

由于(ui,vi)满足方程

(6)

对(6)式两端在Ω上积分得

(7)

2 非常数正解的不存在性

设0=λ0<λ1<λ2<……是-Δ算子在Neumann边界条件下的特征值，其中λi的代数重数记为mi≥1。

由定理1和ε-Young不等式，有

▽u|2+d2(1 +d3u)|▽v|2]dx≤

其中C(ε)只依赖于Λ,Ω,ε和D。

≤

3 非常数正解的存在性

令w(d3)=(1+d3u)v,w*(d3)=(1+d3u*)v*，为了方便将w(d3)和w*(d3)分别记为w和w*。令U*=(u*,w*)，U=(u,w)，那么模型(2)等价于

(I-G)U=0

(8)

其中

-(I-DUG(U*))(y,z)=μ(y,z),(y,z)≠(0,0)

(9)

由Leray-Schauder度理论知，如果0不是(9)的特征值，那么

(10)

其中nμ是方程(9)的正特征值的代数重数。显然，方程(9)等价于

-d1(μ+ 1)Δy+

-d2(μ+ 1)Δz+

∂νy=∂νz=0,x∈∂Ω

(11)

记Pk(μ)=0的正解μ的代数重数为lμ。由(10)式知，对任意的整数k≥0，Pk(0)≠0，那么

(12)

证明记Pk(μ)关于μ的常数项为Π(k)，那么直接计算得

Π

deg(I-G(·;0),Θ,0)=index(G(·;0),U*)=1

deg(I-G(·;1),Θ,0)=

参考文献：

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