基于Backstepping 方法的导引律设计

张文山，罗 生

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009;2.上海交通大学 航空航天学院，上海 200240)

导弹的导引律设计在目标拦截过程中起着非常重要的作用，人们对此进行了大量的研究。传统的导引律［1］主要包括比例导引法、追踪导引法和平行接近法等。在目标不机动、系统无延时、控制能量不受约束的情况下，采用比例导引拦截目标可获得很好的性能。然而，随着目标机动性能的提高，传统的比例导引规律逐渐暴露出很多不足。当目标做机动飞行时，比例导引律的性能会大大下降，终端脱靶量会很大［2］。

为改善比例导引律的导引性能，使之可适应现代战争中日益恶劣的干扰环境，拦截高速、高机动目标，研究者们提出了多种基于现代控制理论方法的导引律，主要有基于最优控制理论［3］、微分对策理论［4］、Lyapunov 函数理论［5］、非线性H∞控制理论［6］、L2增益控制理论［7］、自适应控制理论［8］、滑模控制理论［9-11］等现代控制理论的导引律。

Backstepping 方法［14-15］是1 种构造性方法，他能利用导弹导引系统和驾驶仪动态结构特性，递推地构造出整个一体化制导与控制系统的Lyapunov 函数，所以整体系统Lyapunov函数和制导律的设计过程有较强的系统性、灵活性和结构性，可以实现对高阶驾驶仪动态下的导引律设计。

本文考虑了导弹的一阶驾驶仪动态特性，设计了基于Backstepping 控制方法的一体化导引律。

1 问题描述

为了简化问题，文章仅考虑平面拦截问题，一般将导弹和目标看作质点。导弹平面拦截几何关系如图1 所示。导弹和目标的相对运动关系的极坐标方程［12］为

式中:r 和˙r 分别表示导弹和目标之间的相对距离和相对速度;q 和˙q 分别表示导弹和目标之间的视线角和视线角速度;Vm和Vt分别表示导弹和目标的速度;θm和θt分别表示导弹和目标的飞行方向角;am和at分别表示导弹和目标的横向加速度。

图1 平面拦截几何关系

考虑导弹的近似一阶驾驶仪动态特性［13］

为了简化研究问题，本文假设导弹和目标的飞行速度均为常数，即=0=0。

对式(1)求导，并将式(3)～式(4)代入，得

2 基于Backstepping 的导引律设计

定理1 考虑式(7)，设计如下的非线性导引律

证明 令系统的虚拟控制函数为α(x2)，定义跟踪误差

对式(8)中的误差变量z1求导数，则有

取系统的虚拟控制函数α(x2)为

则式(10)可化为

对式(9)中的误差变量z2求导数，则有

选取系统的Lyapunov 函数为

对Lyapunov 函数求导数，代入式(12)和式(13)则有

将式(8)代入式(15)，可得是负定的。

根据Lyapunov 稳定性理论可知，状态z1渐近趋于零，由于z1=x1=，即证得视线角速度渐近趋于零。

3 仿真验证

设计的虚拟控制函数为α(x2)为

对式(17)求导数，得

对式(14)求导数，并代入式(15)和式(16)，化简得

仿真的初始条件为:导弹和目标的初始距离r0=3 000 m;导弹和目标的飞行速度分别为Vm=500 m/s 和Vt=300 m/s;导弹和目标的导弹倾角分别为θm=60°和θt=0°;初始视线角q=30°;重力加速度g=9.8 m/s2;导弹的初始加速度取为am=20 g;时间常数取τ=0.5。

1)当目标不机动，即at=0 时，导弹视线角速度的输出如图2 所示，导弹制导律和导弹的实际输出加速度如图3 所示，导弹和目标的飞行轨迹如图4 所示，导弹的最终脱靶量几乎为零，即1.36 ×10-11m。

2)当目标以加速度at=5 g 机动时，导弹视线角速度的输出如图5 所示，导弹制导律和导弹的实际输出如图6 所示，导弹和目标的飞行轨迹如图7 所示，导弹的最终脱靶量几乎为零，即6.40 ×10-11m。

图2 导弹的视线角速度的输出

图3 导弹的制导律和导弹的实际输出加速度

图4 导弹和目标的飞行轨迹

图5 导弹的视线角速度的输出

图6 导弹的制导律和导弹的实际输出

3)目标开始时不做任何机动，当导弹和目标的相对距离小于1000 m 时，目标开始以加速度at=10 g 做机动，导弹视线角速度的输出如图8 所示，导弹的制导律和导弹的实际输出如图9 所示，导弹和目标的飞行轨迹如图10 所示，导弹的最终脱靶量几乎为零，即6.80 ×10-12m。

3 组仿真表明:不论目标机动与否，所设计的导引律均均可使视线角速度趋于零，且3 组仿真的脱靶量均处于，1 个很小的数量级，可以实现导弹对目标的拦截。

图7 导弹和目标的飞行轨迹

图8 导弹的视线角速度的输出

图9 导弹的制导律和导弹的实际加速度输出

图10 导弹和目标的飞行轨迹

4 结束语

本文考虑了导弹的一阶驾驶仪动态，给出了1 种新的导引律设计方法，即基于Backstepping 控制的导引律设计方法。仿真结果表明:该导引律使得视线角速度渐近趋于零，脱靶量在1 个较小的数量级上，从了实现了既定的设计目标。本文提出的导引律设计方法有如下优点:①导引律设计过程简单，可推广到高阶驾驶仪动态情况下的导引律设计;②有严格的稳定性分析，从理论上保证了所设计的导引律的可使用性。但仍有2 个问题需要深入研究:①导弹速度可变情况下的导引律设计;②目标运动状态不完全可知情况下的导引律设计。

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