具有旋转对称根的多项式的牛顿映照

刘刚

(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳 421002)

具有旋转对称根的多项式的牛顿映照

刘刚

(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳 421002)

主要研究特殊多项式的牛顿映照的动力学性质.通过研究根的分布和重数,揭示了当多项式的根关于某点具有一定的旋转对称性,且对称根的重数都相同时,此类多项式的牛顿映照要么是双曲的,要么是次双曲的.另外多项式的牛顿映照的动力学性质为多项式的某些问题提供了新的思路.

牛顿映照;Julia集;双曲;次双曲

1 引言及主要结果

给定多项式f,则如下定义的公式

称之为关于多项式f的牛顿映照,简称为牛顿映照.牛顿映照Nf的有限不动点与f的根一一对应,进一步而言,f的根为Nf的(超)吸性不动点.因此牛顿映照迭代给出了多项式的一种求根算法,该算法即为经典的牛顿方法.很多数学工作者从复动力系统的角度对其进行了研究,文献[1]证明了所有根的直接吸引域是单连通的.随后文献[2]利用拟共形手术得到牛顿映照的Julia集是连通的.文献[3]对三次多项式的牛顿映照进行了组合分类.文献[4]利用Yoccoz拼图片的方法证明了存在一个三次多项式,它的牛顿映照具有Cremer点但其Julia集仍可局部连通,此性质与多项式的动力学性质截然相反.关于牛顿映照Julia集的对称性问题,可参见文献[5].尽管已有很多关于牛顿映照的动力学结果,然而对高次多项式的牛顿映照,其结果相对较少且缺乏好的分析方法.

研究牛顿映照的一个重要的简化途径为标量定理(见引理2.1),该定理告诉我们牛顿映照的动力学性质某种程度上决定于根的分布及其重数,而与位置没有关系.本文旨在通过研究多项式根的特殊分布及其重数,从而其牛顿映照具有好的动力学性质.下记(f,g)为多项式f和g首一的最大公因式,♯f为f不同根的数目.本文获得的主要结果为:

定理1.1 从复平面上一点ξ向无穷远处引n(≥2)条射线,且任意相邻的两条射线所夹的角度相等.若多项式f的根都分布在这n条射线上,另外还满足如下条件之一:

(1)n=2;

(2)n为奇数,ξ为f的根(任意重数),其它的根以ξ为对称中心均匀地分布在上述n条射线上,且任何两个到ξ距离相等的根的重数相同;

(3)n为大于2的偶数,此时将这n条射线分为两组,每组相邻的两条射线所围成的扇形区域恰好包含另一组的一条射线.ξ为f的根(任意重数),且每组射线上的根以ξ为对称中心进行均匀地分布,且每组上任何两个到ξ距离相等的根的重数相同;

则Nf是双曲的.

若在上述定理条件(2)和(3)中,对称中心不是该多项式的根,该类多项式的牛顿映照的动力学仍难以刻画,然而在特殊情况下有如下结论.

定理1.2 从复平面上一点ξ向无穷远处引n(≥3)条射线,且任意相邻的两条射线所夹的角度相等.若多项式f所有的根以ξ为对称中心均匀地分布在这n条射线上,且所有根的重数(记为m)都相同,但ξ不为f的根,则Nf是次双曲的.

以上两个定理,实际上要求f的根关于某点具有一定的旋转对称性,且相应旋转对称根的重数相同.

满足定理1.1条件的多项式为定理1.3提供了丰富的具体例子,此时无需计算便有相关的结论.对于非双曲的例子,有无重根难以决定,但定理1.3中的不等式在一定情形可以改进(例如考虑定理1.2中情形).进一步的研究,更多关于多项式的某些问题可从复动力系统的角度进行考虑.

2 相关定义及引理

其中c为非零的常数.

该引理的意义在于,对于给定的多项式,将其所有的根整体做平移,旋转,伸缩后所构成的新多项式的牛顿映照的动力学与原多项式的牛顿映照的动力学一致.为证明文中结果,还需以下的定义和引理.

引理 2.2[2]对任意非常数的多项式f,其对应的牛顿映照的Julia集J(Nf)是连通的.

定义 2.2 (到无穷的趋近)在B∗(ξ)中以 ξ为起点且通向无穷的定端同伦曲线族称之为B∗(ξ)的一个到无穷的趋近.

3 主要定理的证明

命题 3.1 (1)设多项式 f的根关于直线 l对称且对称根的重数相同,则 J(Nf)和任意Fatou分支也关于该直线对称.特别地,实系数多项式的牛顿映照的J(Nf)和任意Fatou分支关于实轴对称.

(2)若实系数多项式f至少有三个不同的实根,则对于任意介于最小与最大实根之间的实根x,则B∗(x)含有正偶数个Nf的临界点.

满足该定理条件的多项式在牛顿法下的分形图集见图1.

图1 J(Nf)(多项式f(z)满足定理1.1中条件)

图2 J(Nf)(多项式f(z)满足定理1.2中条件)

2.即使多项式的根关于实轴,虚轴,原点对称,且所有根的重数都相同,其相应的牛顿映照的动力学性质也难以分析.例如实四次多项式族fc(z)=(z2+1)(z2−c)(c∈{0})的牛顿映照,阶大于1的吸性域,抛物域,Siegel盘均可能出现.

图3 J(N~f),J(Nf0.12)和J(Nf0.16)

[1]Przytycki F.Remarks on the Simple Connectedness of Basins of Sinks for Iterations of Rational Maps[M]// Krzyzewski K.Dynamical Systems and Ergodic Theory.Warsaw:Babach Center Publications,1989.

[2]Shishikura M.The Connectivity of the Julia Set of Rational Maps and Fixed Points[M]//Schleicher D. Complex dynamics:Families and Friends.Wellesley:A K Peters,2009.

[3]Tan Lei.Branched coverings and cubic Newton maps[J].Fund.Math.,1997,154(3):207-260.

[4]Roesch P.On local connectivity for the Julia set of rational maps:Newton′s famous example[J].Ann.Math., 2008,168:1-48.

[5]阳卫锋.牛顿变换Julia集的对称性[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(3):530-533.

[6]Beardon A F.Iteration of Rational Functions[M].Berlin:Springer,1991.

[7]Carleson L,Gamelin T W.Complex Dynamics[M].Berlin:Springer,1991.

[8]Milnor J.Dynamics in One Complex Variable[M].3rd ed.Princeton and Oxford:Princeton University Press,2006.

[9]乔建永.重整化变换的复动力学[M].北京:科学出版社,2010.

[10]Hubbard J,Schleicher D,Sutherland S.How to fi nd all roots of complex polynomials by Newton′s method[J]. Invent.Math.,2001,146(1):1-33.

Newton maps for polynomials with rotationally symmetric roots

Liu Gang
(Department of Mathematics and Computational Science,Hengyang Normal University, Hengyan 421002,China)

The dynamical properties of Newton maps for special polynomials are investigated.Analysis of the distribution and multiplicities of roots revealed that Newton maps for polynomials,whose roots are some rotationally symmetric with a fi xed point and the multiplicities of symmetric roots are all the same,are either hyperbolic or subhyperbolic.Moreover,the study of dynamical properties of Newton maps for polynomials produce new ideas for some problems of polynomials.

Newton map,Julia set,hyperbolic,subhyperbolic

O174.5

A

1008-5513(2012)05-0628-07

2011-10-20.

中央高校基本科研业务费(2010YS02).

刘刚(1982-),博士生,研究方向：复动力系统.

2010 MSC:37F45