桁架优化的改进粒子群算法①

许 锐， 王泽兴， 罗 雪

(1．同济大学结构工程与防灾研究所，上海200092;2．同济大学浙江学院，浙江嘉兴314051)

0 引言

桁架结构尺寸优化，是在结构拓扑和形状已知的情况下，搜索各个杆件的最佳尺寸，使结构在满足约束条件的同时达到质量最轻．杆件截面积即为尺寸优化设计的设计变量．

在结构优化领域中，优化准则(OC)法[1]与数学规划(MP)[2]法等传统的算法已经广泛应用于求解简单优化问题，并取得了较好的效果．但这些传统优化算法在进行大型复杂的结构系统的优化时，则通常会出现通用性差、计算量大等缺点．随着计算技术的发展，如遗传算法(GA)、粒子群算法(PSO)、微分演化算法(DE)、免疫克隆选择算法(ICSA)、蚁群算法(ACO)等[3－7]仿生智能优化算法逐渐应用于工程优化领域．，这些仿生智能优化算法较之于传统的优化算法，不需要变量的梯度信息，不要求函数的连续性和可微性，因此更适合于求解结构优化问题．但仿生智能算法也存在共同的缺点，即参数不易确定，参数的设置通常会影响算法收敛的效果．

在上述仿生智能计算技术中，粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)算法受到鸟类群体行动的行为启发而提出，并以其概念和操作简单、收敛迅速及鲁棒性高等特点得到了广泛的关注及应用．PSO算法被成功应用于很多研究领域，如在函数优化、人工智能与神经网络训练、模糊控制、仿真与识别、结构可靠性评估、优化与参数识别等．但作为一种通用的随机全局搜索算法，PSO也面临着早熟收敛和后期收敛速度慢等问题[8]．因此很有必要在原有标准PSO的方法的基础上对算法进行改进，使其更适应复杂的结构优化问题．纵观各种对标准PSO算法的改进策略中，“综合学习策略”的粒子群算法(CLPSO)是最为成熟的一种，并被作者成功应用于结构识别中[9]．本文将改进的PSO算法即基于“综合学习策略”的粒子群算法(CLPSO)应用于桁架结构优化，典型算例的数值结果表明了CLPSO在桁架尺寸优化中的有效性．

1 “综合学习策略”粒子群优化算法(CLPSO)的基本原理

PSO算法是受鸟群等群体的社会性行为启发，模拟它们在觅食时群体协作，彼此信息共享等机制的行为发展起来的启发式的仿生智能算法．算法中，群体中的每一个粒子代表一个备选解，粒子在每一代的更新过程中通过和其周边的粒子共享信息实现演化．第i个粒子的第d维坐标的位置和速度按照下式更新:

图1 10－杆平面桁架

图2 10杆平面桁架优化的评价函数曲线

在标准PSO算法的基础上，为了使种群获得更多有益的信息，一种新的学习策略被提出[10]，在该策略中，粒子的速度更新公式(1)变为

其中hi=[hi(1)，hi(2)，…，h(D)]定义了粒子i在各个维度上将要学习的最佳经验的来源，即粒子i在第d个维度上将要向第h(d)个粒子的最佳经验学习．对于每个粒子的D个维度，随机选取m个维度向群体最佳经验学习．在剩余维度中，则依据学习概率Pc，来判断是否向此时的学习范本学习，该范本可以是任意一个包括第i个粒子本身在内的粒子的．本文中，粒子i的学习概率Pci的表达式如下所示:

式中群体规模为S，粒子序号为i．“综合学习策略”的粒子群算法更为详细的原理介绍可参考作者的文献[9]．

图3 25－杆空间桁架

图4 25杆空间桁架优化的评价函数曲线

2 桁架结构优化

2．1 桁架结构尺寸优化的数学模型

2．1．1 设计变量

在桁架结构的尺寸优化设计中，将杆件截面面积选择为设计变量，故定义设计变量为

式中，n为截面积设计变量的个数;Ai为杆件的截面积．

2．1．2 目标函数

评价一种设计方案好坏是通过目标函数来进行．在桁架尺寸优化设计中，目标函数为桁架的最小重量或体积，故定义目标函数为桁架的总重量并同时考虑约束的惩罚项:

式中，M为结构总质量，ρi，Ai分别为第i组杆件的密度及截面积，Li为第i组杆件的长度，N为预先定义的大数(程序中取1030);λ为罚函数因子，用来处理约束．当结构设计满足约束条件时λ=0，否则 λ=1．

2．1．3 约束条件

①应力约束:

式中，gσk(A)为应力约束，[σk]，σk分别为第k组杆件的允许应力值和各种工况下的最不利应力值，K为杆件的总组数．

②节点位移约束:

式中，[ujl]，ujl分别为特定节点j在给定方向l上的位移允许值和各种工况下最不利位移值，m为节点总数，ND为节点位移约束维数．

③设计变量约束:

式中，Amin，Amax为分别设定的杆件的截面尺寸的上限与下限．

2．2 基于CLPSO算法的桁架结构优化程序

本文采用Matlab进行编程计算．基于CLPSO算法的桁架优化流程如下:

Step 1:设置算法参数;初始粒子群，在搜索空间中随机产生第一代粒子变量;it=0;

Step 2:进行结构分析，计算出每个粒子所代表的设计变量对应的各杆件应力和节点位移等结构信息;

Step 3:如公式(6)所示，计算粒子适应度，并对于违反约束的个体进行惩罚处理;

Step 4:比较每个粒子的适应度与其所经历的最好位置的适应度，该粒子当前的全局最优位置;

Step 5:比较每个粒子的适应度与全局所经历的最好位置的适应度，更新当前的全局最优位置;

Step 6:根据速度更新方程(3)和位置更新方程(2)更新粒子的速度和位置;

Step 7:满足算法终止条件，输出最优粒子以及最优粒子的目标函数值，否则返回Step 2．

3 算例分析

为了验证CLPSO应用于考虑具有应力约束和几何约束的桁架结构优化设计的优越性，对典型的桁架结构进行分析比较．CLPSO算法的计算参数选择如下:粒子数PS=40，最大迭代次数G=1000，惯性权重w=0．6，加速因子c=1．494，学习概率取式(4)．

表1 10杆平面桁架优化结果比较

表2 荷载工况及节点荷载表

表3 杆件分组及允许应力表

3．1 10杆平面桁架优化

图1所示为10杆平面桁架．各杆使用相同的材料，密度 ρ=2767．99kg/m3，弹性模量E=68947．57MPa，允许应力 σ=±172．252MPa，荷载P2=444．52kN，P4=444．52kN，L=9．144m．设计变量为各杆截面积，其取值范围为64．516×10－6～2．5806×10－2m2．各节点允许的最大位移为dmax=±50．8mm．结构的单元与节点编号见图1．

为了分析CLPSO算法的有效性，随机运行5次优化程序．表1列出了本文应用CLPSO算法的优化结果与其他算法优化结果的比较．本文CLPSO算法收敛的时程曲线见图2．

由图2可知，CLPSO随机优化在400代以内均已经收敛．由表1知CLPSO优化结果的平均值为2294．516kg，其中最优值为 2294．360kg，最劣值为2294．778kg．采用本文算法优化的结果优于文献[11]与文献[12]的最优结果，虽然稍差于文献[13]，但本文算法5次随机优化结果的标准偏差为0．033，明显优于其他方法，相比之下本文算法收敛结果更加稳定．

3．2 25杆空间桁架优化

图3所示为25－杆空间桁架．各杆使用相同的材料，密度 ρ=2767．99kg/m3，弹性模量E=68947．57MPa．截面积范围为Amin=6．4516×10－6m2，Amax=2193．5440×10－6m2．位移约束为各节点在x，y，z方向位移均不超过dmax=±8．89mm．两种工况下节点荷载见表2，杆件分组及对应的允许应力见表3．

同样随机运行CLPSO算法5次优化程序．表4列出了本文应用CLPSO算法的优化结果与其他算法优化结果的比较．本文CLPSO算法收敛的时程曲线见图3．

表4 25杆空间桁架优化结果比较

由图3可知，CLPSO随机优化在400代以内均 已经收敛．由表4知CLPSO优化结果的平均值为247．4kg，其中最优值为 247．287kg，最劣值为 247．646kg．采用本文算法优化的均结果优于文献的最优结果，相比之下本文算法收敛结果更加稳定．说明了CLPSO算法具有很强的搜索能力，能够得到令人非常满意的结果．

4 结论

CLPSO算法是受鸟群、鱼群等群体的社会性行为启发的一种新颖仿生智能算法．和其他进化算法比较，CLPSO算法保留了PSO算法概念简单、易于执行及收敛迅速等优点，同时克服了PSO算法早熟收敛和后期收敛速度慢等问题．桁架结构尺寸优化算例的结果表明，本文采用的CLPSO算法收敛快，优化性能好且鲁棒性高，可以有效地进行桁架结构尺寸优化设计．

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