多相圈式绕组电机的定子端部漏感计算

史振宇 吴旭升 高 嵬 李宗阳

（1.海军驻438厂军事代表室 武汉 4300332.海军工程大学电气与信息工程学院 武汉 430033 3.92418部队 杭州 311203）

1 引言

端部漏感的计算结果不但影响电机瞬态和超瞬态参数的分析精度，还会影响电机电磁场的二维分析结果的可靠性。然而定子端部漏感的传统算法存在着依赖经验公式和不能用于计算多相电机的缺陷，精度较高的三维电磁场解法也有建模复杂且计算时间较长的不足[1-3]。在引入气隙电流与镜像电流的情况下，文献[4-6]通过将电流源分段后，叠加计算各小段电流效果的算法计算了多相电机端部漏感。这种离散的处理方式虽然能较好地改善传统算法与电磁场解法的不足之处，但算法本身是在汽轮机的条式绕组[4-7]基础上进行的，其模型本身与圈式绕组存在较大差别，直接用来计算圈式绕组的定子端部漏感必然会有误差。本文通过建立圈式绕组线圈端部的空间模型，研究了多相电机的定子端部漏感计算方法。

2 端部漏感建模与计算

2.1 端部线圈建模

根据绕线式异步电机的端部特性，可将线圈端部分为两条直线段与一条空间曲线段，该曲线是母线平行于轴线的一条渐开面与母线平行于定子铁心端面且开口向下的抛物面的交线。综上，可以得到图1所示的定子端部在直角坐标系xyz内的简图。坐标系原点位于定子铁心端面中心处，xOy平面与定子铁心端面重合，z轴正方向沿轴向从原点指向外，x轴正方向从原点指向一号槽的中点。线圈与定子铁心交点分别取在对应槽上、下层边的中点，其到原点的距离分别为RA与RD。

图1 电机端部的模型简图Fig.1 Diagram of motor end-winding

2.2 电流源的分段

在引入镜像电流与气隙电流后可将任一通电线圈端部的作用分为八个部分，分别对应空间的八个电流段。各电流段及其编号依次为:线圈端部电流段AB、BC与CD及其镜像电流段 ''BA 、 ''CB 、 ''DC ，编号依次为为1～6；气隙电流及其镜像在线圈内部的AD段与线圈外部的AD段，编号为7、8。各电流段中的电流方向如图2所示。

图2 线圈端部各电流段电流方向Fig.2 Sketch map of every current part directions in coil ends

在假设电机铁心磁导率为无穷大，并忽略齿槽效应条件下，得到第m段的电流为

2.3 线圈端部面积剖分

利用数值方法计算图1中1号线圈端部在2号线圈端部面积内产生的磁链时需要对2号线圈端部面积进行剖分。根据线圈端部模型，2号线圈的端部被剖分为如图3的空间矩行与空间三角形两种共计Ns个面积小块，对应面积为Si(i = 1,2,3 … Ns)。

图3 线圈端部面积剖分图（空间剖分）Fig.3 Section plane of coil end area (special)

2.4 电感计算

为提高数值计算的精度，将1号线圈各电流段分为Nm个小段，其中m=1,2,3,…,8。可以得到第m个电流段的第 n小段在 2号线圈端部Si的中心点上产生的法向磁通密度为

式中，l1mn表示从 1号线圈的第 m个电流段的第 n小段电流矢量段；r21imn表示从l1mn中点指向 Si重心的矢量；n2i表示在规定磁动势正方向后Si中心的单位法矢量。

进而得到1号线圈端部在2号线圈端部面积内产生的磁链为

则1号线圈通电后，2号线圈端部产生的电感为

对线圈端部沿逆时针或顺时针统一编号后，根据式（2）～式（4）可知对于两对编号间隔相同的线圈对（即第x和第y号与第k号和第k+x-y号线圈），由于其相对位置相同，存在如下关系

因此，对于相对位置相同的任意两个线圈，端部互电感有如下关系

即相对位置相同的两个线圈端部之间的电感相同。所以在求解线圈端部互感矩阵Mz1×z1时，只需求解其中的电感 Mi1(i =1,2,3,…z1)，共计z1项，便可得到互感矩阵Mz1×z1。

2.5 各相漏感的计算

在计算出各线圈端部的互感与自感后，可根据电机绕线方式写出与之对应的关联矩阵C[5]。结合互感矩阵Mz1×z1，得到相间漏感矩阵

式中，u、v取法同文献[5]中相同。

利用互感矩阵Mz1×z1，结合各相的电流矢量图，便可求出多相电机各相的端部漏感。

3 样机计算与分析

3.1 线圈编号

为便于计算与分析，将原理样机定子槽编号，令1号槽中线位于xOz平面，从原点向z轴正方向看，沿顺时针方向将定子槽编为1～48号。线圈的编号与该线圈上层边所在槽的编号相同。

3.2 线圈端部间的电感计算

以1号线圈为例，将其电流段划分成各小段，并将其端部面积剖分，利用式（2）可以求出各电流小段在端部面积内各小块上的法向磁通密度。经计算得出其自感引起的端面内的法向磁通密度分布如图4所示。

通过图4可以看出:在线圈端部，导线附近的法向磁通密度最大，且由导线所在位置向定子铁心端面方向逐渐减小。在图中离C点较近区域与距离B点较近区域相比，由于距离气隙电流远近不同，磁通密度大小略有不同。离轴线较近的B点附近区域，磁通密度衰减相对较快。

图4 自感引起的端部面积内的法向磁通密度分布Fig.4 Normal flux density distributions produced by self inductance in coil end area

对不同线圈端部的电流分段和面积剖分，结合端面内各面积小块的法向磁通密度、式（3）与式（4）可以求出线圈端部互感矩阵M48×48，由于篇幅有限且M48×48中存在式（6）所给关系，故表1只给出了1号线圈通电时，在48个线圈端部引起的电感值。

表1中，由于端部自身耦合程度最高，1号线圈端部的自感是最大的；随着耦合程度的降低，各线圈端部间的电感会逐渐减小，故表中的电感从 2号与 48号线圈开始向远离 1号线圈的两侧依次衰减；而当线圈与1号线圈距离较大时，两线圈间的距离对电感的绝对值的影响开始明显，故表中由12线圈与37号线圈开始向远离1号线圈的方向，电感的绝对值略有降低。

表1 线圈端部间的电感Tab.1 Inductance values in coil ends（单位:×10-7H）

利用本文计算方法与Rmxprt软件计算出样机在绕成三相，不同短距比条件下的定子端部漏感见表2。

表2 不同条件下定子端部漏感Tab.2 Stator ends leakage inductance with different conditions（单位:×10-4H）

通过表2可以看出两种方法计算出的端部漏感相差不大，说明本文所提出的圈式绕组端部漏感计算方法具有一定的正确性。但同时，表2中的数据还反映出本文所述方法的计算结果普遍大于同条件下的传统方法的结果。出现这一现象是因为在线圈端部之间的漏感矩阵中，自漏感占据着很大的比重。在自漏感中，在线圈匝数相同的条件下，线圈端部的面积越大，线圈的自感也越大。而在线圈伸出端部的直线段部分长度和折线段部分长度相同的条件下，圈式绕组线圈端部的面积明显大于条式绕组的值。因此，在相同条件下，本文所计算的圈式绕组的漏感值大于传统算法的结果。

根据本文所述的计算方法，编制相应计算程序。算出样机各相间的端部互漏感见表3。

表3 相间互漏感Tab.3 End leakage inductance between two phases（单位:×10-6H）

可以看出，互漏感矩阵中各相的自电感最大。此外，当任意两相在电流向量图中相对位置相同时，两线圈端部的互电感相同，如 MA1B1= MA2B2。

利用本文所述方法，计算出样机在不同短距比条件下的端部漏感见表4。

表4 不同短距比下的端部漏感Tab.4 End leakage inductance with different short pitch ratios（单位:×10-4H）

由表4可以看出，样机的端部漏感随着短距比的增大，逐步增加。

4 试验验证

当利用Ansoft对电机进行二维有限元仿真时，除转子端环漏感与转子端环电阻的实际值、定子端部漏感与定子相电阻以外，不用考虑其他漏电感和电阻参数。在以上四项中，定子相电阻可以通过试验测得，转子端环漏感实际值与端环电阻实际值与定子绕线方式无关，可以通过现有的公式计算得出。因此，当录入由本文计算得到的六相电机的定子端部漏感，通过有二维有限元计算得到的结果与试验数据对比可以用来验证为本文所述算法。

计算得到样机定子端部漏感为1.5647×10-4H，将其录入Ansoft进行2D有限元仿真后得到空载条件下，定子相电流波形如图5所示。

图5 定子电流随时间的变化曲线Fig.5 Graph describing stator current with different time

通过图5可以得出电机运行稳定后的有效值为9.688A。在电源条件相同的情况下，通过试验测得样机空载运行稳定后定子相电流有效值为9.8A，与仿真得的到得结果误差不到1.2%，说明本文提出的多相圈式电机定子端部漏感的计算方法具有一定的有效性。

5 结论

本文通过建立定子绕组为圈式时的定子线圈端部空间模型，推导了多相圈式感应电机的端部漏感计算公式。编程计算了某型样机的定子端部的互漏感与不同短距比时的定子漏感，并对计算结果做出了分析。最后通过对比验证了本文所述算法的有效性。

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