浅析平面内常见曲线定义及性质的应用

☉陕西省米脂县米脂中学 常 莹

平面内常见曲线有：线段的垂直平分线，角平分线，圆及圆锥曲线等.他们的定义分别如下：

（1）线段的垂直平分线是平面内到两定点的距离相等的点的轨迹.

（2）角平分线是平面内到角两边距离相等的点的轨迹.

（3）圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹.

（4）圆锥曲线是平面内到一定点的距离和一条定直线的距离（定点不在定直线上）的比是一个常数e的点的轨迹.如果0＜e＜1，则曲线是椭圆；如果e=1，则曲线是抛物线；如果e＞1，则曲线是双曲线.另外椭圆还可以这样定义：平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹；双曲线还可以这样定义：平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹.

下面就本人在教学中一些体会，谈一谈平面内常见曲线的定义及性质的应用.

一、利用常见曲线定义及性质求曲线的轨迹

例1 已知点A是定圆C内一定点，点M是圆C上任意一动点，线段AM的中垂线与直线MC相交与点N，试求动点N的轨迹.

解析：由点N在线段AM的中垂线上，知|NM|=|NA|.

而|NM|=|CM|-|CN|，则|NA|=|CM|-|CN|，故|NA|+|CN|=|CM|.

点A是定圆C内一定点，点M是圆C上任意一动点.

|AC|、|CM|都是定值，且|AC|＜|CM|，则动点N的轨迹是以A、C为焦点，以定圆的半径为长轴长的椭圆.

二、利用常见曲线定义及性质求值

三、利用常见曲线定义及性质求最值

（2）由|PF1|+|PF2|=2a=20，得|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20.

—的延长线与椭圆的交点时，右边“=”成立.

故|PM|+|PF2|的最小值为10，最大值为30.