☉山东胶南市第四中学 乔方荣
数学中的运动变化问题,包括点动、线动、平行移动、翻折、旋转和滚动等各种运动方式.本文着重探讨通过恢复原始(初始)或特殊状态,找到解决这类问题的思路.
例1 如图1,在矩形ABCD中,R、P分别是DC和BC上点,点E、F分别是AP、RP的中点,当P点在BC上从B向C移动,而点R不动时,下列结论正确的是( ).
A.线段EF的长逐渐增长
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长始终不改变
D.线段EF的长不能确定
解:解本题时不要被“动”点P所迷惑,以动窥静,以静思动,抓住不变因素(定点和定长AR及△APR的中位线EF),自然联想到不论点P移动到哪一点,EF的“角色”——中位线的特征始终不改变.根据中位线定理,总有EF平行且等于AR的一半,所以线段EF的长度不改变.
例2 如图2所示,已知线段AM∥DN,直线l与AM、DN分别交于点B、C,直线l绕BC的中点P旋转(点C由点D向N点方向移动).任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD长度后,分别计算每个图形的AB+CD(精确到1cm),比较这两个和是否相同,并证明你的结论.
解:经测量AB1=1.4cm,DC1=0.6cm,AB1+DC1=1.4+0.6=2(cm).AB2=0.8cm,DC2=1.2cm,AB2+DC2=2(cm).
所以AB1+DC1=AB2+DC2.
证明:过P点作PE∥AB交AD于E点,则PE∥DN.
在四边形AB1C1D中,2EP=AB1+DC1.
在四边形AB2C2D中,2EP=AB2+DC2.
所以E为AD中点,AB1+DC1=AB2+DC2.
例3 在平面直角坐标系内,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC∥x轴,AB=CD,AD=2,BC=8,AB=5,B点的坐标是(-1,5).抛物线y=x2经过上下左右移动后,能否使得A、B、C、D四点都在抛物线上?若能,请说明理由;若不能,则将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”,试探索m的值,使得抛物线y=ax2+c,经过上下左右移动后能同时经过A、B、C、D四点.
解:本题如果利用图3,将抛物线移到A、B、C、D四点,再利用A、B、C、D四点的坐标来求m,就太麻烦了!考虑运动具有相对性,将等腰梯形移到如图4初始位置,在这个位置很容易求出A、B、C、D四点的坐标,从而求出经过A、B、C、D四点的抛物线,题目就简单得多了!
例4 如图5,一张三角形纸片沿直线DE折叠成如图形状,试探索∠A与∠CEA和∠BDA的数量关系.
解:本题如果利用四边形与三角形的内角和解题,就太麻烦了,考虑∠A是由△ABC翻折而成,我们将折叠图形恢复到初始位置,题目就简单得多了.
如图5所示,根据翻折对称的性质,易得:
∠EAD=∠EA′D,AE=A′E,AD=A′D.
所以∠EAA′=∠EA′A,∠DAA′=∠DA′A.
因为∠AEC=∠EAA′+∠EA′A,∠ADB=∠DAA′+∠DA′A,
所以∠A与∠CEA和∠BDA的数量关系是:
2∠A=∠CEA+∠BDA.
例 5 如图6,ABCD是正方形,点E、F分别是BC、CD边上的两个动点,如果∠EAF恒等于45°,那么EF∶(BE+DF)等于多少?
解:将BE+DF中的两条线段转移到同一条直线上,由此想到将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°得△ABP.由旋转性质知:
BP=DF,AP=AF,∠1=∠2.
又因为∠PAE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=90°-45°=45°,
所以∠PAE=∠EAF=45°,AE=AE,AP=AF.
所以△PAE与△FAE关于AE对称,可得BE+PB=BE+DF=PE=EF.
所以EF∶(BE+DF)=1∶1.
图形的“运动”使问题变得很复杂,解决这类题目的关键是把动态问题抽象成数学模型,动静结合,准确地分析问题中什么在变,什么没变,进而把握住变化过程中不变的关系及图形.