巧连辅助线解决圆的有关问题

☉江苏兴化市边城学校 朱筛东

圆是初中数学中非常重要的内容，在与圆的有关计算与证明中，巧妙添加辅助线是解决此类问题的关键与突破口.

一、求圆的半径常连接圆的半径

半（直）径是圆中重要的线段，在分析问题时，利用圆的半（直）径，容易找出线段间的关系，借助勾股定理来解决问题.

例1 如图1，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）cm.

分析：连接OA、OB，根据△OBC的三边长，运用勾股定理可以求圆的半径.

解：选C.连接OA、OB，设OD=x.

根据题意，可知AD=2x.

所以OA=

在直角三角形OBC中，OB=OA=

因为小正方形的面积为16cm2，

所以BC=4.

又OC=x+4，根据勾股定理，可得OB2=OC2+BC2，即（42+（x+4）2.

解得x1=4，x2=-2（舍去）.

所以圆的半径OA=

点评：本题主要运用到圆中正方形与直角三角形的性质进行解题，根据勾股定理可以找出圆的半径与所给线段间的联系，借助一元二次方程求出圆的半径.

二、在垂径定理的运用中，弦心距是常作的辅助线

垂径定理内容是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.在圆的半径、弦以及弦心距三个量中，可以根据勾股定理知二求一，其中弦心距是常作的辅助线，可以构成直角三角形来解决问题.

例2 如图2，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：点M在弦AB上的运动过程中有最大值和最小值，当M处于弦AB的端点时，长度最大；当OM与AB垂时，长度最小，确定范围后即可作出选择.

解：当点M与点A重合时，如图3所示，此时OM=5

根据勾股定理可求得OH=3.

所以3≤OM≤5.

所以OM不可能为2.

点评：垂径是圆中运算的重要题型，弦心距是此类问题中常作的辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理求出线段长度.

例3 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与弦CD间的距离.

分析：根据弦长、圆的半径，构建直角三角形，运用勾股定理求线段长度.解决本题要注意分类讨论.

解：当弦AB、CD在圆心同侧时，如图4.

根据垂径定理与勾股定理，可得弦间距离为1cm.

当弦AB、CD在圆心两侧时，如图5，可得两弦间距离为7cm.

点评：本题难点在于分类讨论，题中仅告诉弦AB、CD的长度，但没有明确位置，要分开讨论，借助垂径定理求出线段长度,对于此类问题，特别要深挖题设条件，找出所有可能情况.

三、直线与圆相切，过切点的半径是圆中常添加的辅助线

圆的切线垂直于圆的半径，并且经过半径的外端点，当直线与圆有公共点时，证明切线方法是：连接公共点与圆心并证明垂直；当未经出直线与圆公共点时，证明切线方法是：需要过圆心作直线的垂线并证明是圆的半径.

例4 如图6，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

分析：当已知直线与圆有公共点时，常连接公共点与圆心的连线，并证明垂直来证明切线，本题中连接OD并根据平行线的性质来得到角相等，从而证明垂直，得到切线；问题2中，通过过点D作AB的垂线段，构成相似三角形，并根据相似三角形的性质求出BF的长.

解：（1）连接OD，如图7.

因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2.

又因为OA=OD，所以∠1=∠3.

所以∠2=∠3，所以OD∥AE.

因为DE⊥AE，所以DE⊥OD.

而D在⊙O上，所以DE是⊙O的切线.

（2）过D作DG⊥AB于G.

因为DE⊥AE，∠1=∠2，所以DG=DE=3，半径OD=5.

在Rt△ODG中，根据勾股定理，得OG=

所以AG=AO+OG=5+4=9.

因为FB是⊙O的切线，AB是直径，所以FB⊥AB.而DG⊥AB.

点评：本题中线段经过半径的外端点，只要证明与半径垂直即可，本题通过线段的平行证明垂直；本题还用到切线的性质，得到直角三角形，再根据相似三角形的对应边成比例，求出线段的长度.

圆的有关计算与性质运用中，添加辅助线运用非常灵活，在解题时要注意把圆的有关知识与勾股定理、相似等知识相联系，寻求解决问题的方法.