☉江苏兴化市边城学校 朱筛东
圆是初中数学中非常重要的内容,在与圆的有关计算与证明中,巧妙添加辅助线是解决此类问题的关键与突破口.
半(直)径是圆中重要的线段,在分析问题时,利用圆的半(直)径,容易找出线段间的关系,借助勾股定理来解决问题.
例1 如图1,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为( )cm.
分析:连接OA、OB,根据△OBC的三边长,运用勾股定理可以求圆的半径.
解:选C.连接OA、OB,设OD=x.
根据题意,可知AD=2x.
所以OA=
在直角三角形OBC中,OB=OA=
因为小正方形的面积为16cm2,
所以BC=4.
又OC=x+4,根据勾股定理,可得OB2=OC2+BC2,即(42+(x+4)2.
解得x1=4,x2=-2(舍去).
所以圆的半径OA=
点评:本题主要运用到圆中正方形与直角三角形的性质进行解题,根据勾股定理可以找出圆的半径与所给线段间的联系,借助一元二次方程求出圆的半径.
垂径定理内容是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.在圆的半径、弦以及弦心距三个量中,可以根据勾股定理知二求一,其中弦心距是常作的辅助线,可以构成直角三角形来解决问题.
例2 如图2,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
分析:点M在弦AB上的运动过程中有最大值和最小值,当M处于弦AB的端点时,长度最大;当OM与AB垂时,长度最小,确定范围后即可作出选择.
解:当点M与点A重合时,如图3所示,此时OM=5
根据勾股定理可求得OH=3.
所以3≤OM≤5.
所以OM不可能为2.
点评:垂径是圆中运算的重要题型,弦心距是此类问题中常作的辅助线,构造直角三角形,根据勾股定理求出线段长度.
例3 在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与弦CD间的距离.
分析:根据弦长、圆的半径,构建直角三角形,运用勾股定理求线段长度.解决本题要注意分类讨论.
解:当弦AB、CD在圆心同侧时,如图4.
根据垂径定理与勾股定理,可得弦间距离为1cm.
当弦AB、CD在圆心两侧时,如图5,可得两弦间距离为7cm.
点评:本题难点在于分类讨论,题中仅告诉弦AB、CD的长度,但没有明确位置,要分开讨论,借助垂径定理求出线段长度,对于此类问题,特别要深挖题设条件,找出所有可能情况.
圆的切线垂直于圆的半径,并且经过半径的外端点,当直线与圆有公共点时,证明切线方法是:连接公共点与圆心并证明垂直;当未经出直线与圆公共点时,证明切线方法是:需要过圆心作直线的垂线并证明是圆的半径.
例4 如图6,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
分析:当已知直线与圆有公共点时,常连接公共点与圆心的连线,并证明垂直来证明切线,本题中连接OD并根据平行线的性质来得到角相等,从而证明垂直,得到切线;问题2中,通过过点D作AB的垂线段,构成相似三角形,并根据相似三角形的性质求出BF的长.
解:(1)连接OD,如图7.
因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.
又因为OA=OD,所以∠1=∠3.
所以∠2=∠3,所以OD∥AE.
因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.
而D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线.
(2)过D作DG⊥AB于G.
因为DE⊥AE,∠1=∠2,所以DG=DE=3,半径OD=5.
在Rt△ODG中,根据勾股定理,得OG=
所以AG=AO+OG=5+4=9.
因为FB是⊙O的切线,AB是直径,所以FB⊥AB.而DG⊥AB.
点评:本题中线段经过半径的外端点,只要证明与半径垂直即可,本题通过线段的平行证明垂直;本题还用到切线的性质,得到直角三角形,再根据相似三角形的对应边成比例,求出线段的长度.
圆的有关计算与性质运用中,添加辅助线运用非常灵活,在解题时要注意把圆的有关知识与勾股定理、相似等知识相联系,寻求解决问题的方法.