初中生数学直觉思维运用的障碍及对策

☉浙江省台州市椒江区第五中学 徐丹红

直觉思维是一种客观存在的思维形式，它具体表现为思维主体在解决问题时，运用已有的经验和知识，对问题从总体上直接加以认识和把握，以一种高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质，并迅速解决问题或对问题作出某种猜测.在数学学习中，直觉思维是必不可少的，它是分析和解决实际问题能力的一个重要组成部分，是一个有着潜在开发学生智力意义的不可忽视的因素.因此，在数学教学中，重视直觉思维能力的培养，对培养学生的创新精神和创造能力是至关重要的.然而，学生在数学学习中对直觉思维的运用还存在障碍，本文先分析初中生数学直觉思维运用的障碍，再探讨初中生数学直觉思维运用的培养策略.

一、初中生数学直觉思维运用的障碍

1.缺乏整体性观察，直觉洞察能力不够

举例1：曾在《正方形》习题课中出示如下习题：如图1，已知四边形ABCD是正方形，且边长为延长BC到E且CE＜AB，并作正方形CEFG，则△BDF的面积等于.

绝大部分同学考虑面积割补发现计算过程烦琐不敢深尝试，思维被困，部分同学预感计算量大，结果无招呆楞着，更有一部分同学毫无头绪.若注重整体观察，洞察出△BDF的面积即为△BDC的面积，可迅速得面积为

图1

2.缺乏思维灵敏性，直觉推理能力欠缺

举例2：在教学《一元一次方程》时，有如下例题：

甲、乙两人同时从A地出发至B地，甲在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2（v1≠v2）；乙在前一半时间用速度v2，在后一半时间用速度v1.那么两人谁先到达？

基础扎实的同学用代数式表示出两人所用时间，采用比较法得出正确结论.但列代数式和作差法计算这两个难点足使很多同学望而却步.其实，这是个填空题，只需一个正确结论，出题意图旨在考查同学的直觉思维能力.容易想象，如果两种速度差别很大时，较快的速度在一半时间内可以走大部分路程，显然这种方式用时短.

3.不能正确把握问题信息，直觉判断能力较弱

举例3：尝试让初三学生解决以下问题：

一名教师在某年元旦向银行贷款2万元用于购房，银行利率为年利率10%（按复利计算），计划从次年每年元旦分期偿还，10年还清，如果每年偿还的钱数相等，问每年需还款多少.

这是一道等比数列应用题，本属高中范畴，若初中学生弄清题意，借助计算器是可以解决的.但学生的结果却异彩纷呈：有回答79.2元，也有1万多元，更多的是一脸茫然.而当问及能否解释其结论的正确性，更是不知所措.其实，只要对问题结果的取值范围进行合理的估计，并迅速运用直觉思维作出判断，就可以寻找解决问题的方向，从而达到计算结果的准确性.比如：若没有利息，则每年需还2000元；若10年后一次还清，需还2（1+10%）10≈5.2万元，平均每年约还5200元.则答案应在2000元到5200元之间.如此上述荒谬的答案就不会出现了.

种种现状，究其缘由，学校传统的数学教学模式在培养训练学生获得数学直觉思维能力的成效上，远没有达到培养训练学生获得数学形象思维能力和逻辑思维能力所取得的成效.这一方面是因为数学知识结构的严谨性、抽象性和系统性等特点，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，另一方面是我们教师在教学时往往采用成人的思维习惯，而且大多数数学教师由于长期受演绎论证的训练，自身也经常忽视直觉思维的运用.为此，笔者认为，在数学教学中，教师要把直觉思维能力的培养放在与逻辑思维能力培养并重的位置上，同时，教师要经常运用直觉思维对问题进行猜想，为学生做出示范，教师的引导和启发对培养学生的直觉思维将是有效的.

二、培养初中生数学直觉思维运用的策略

1.加强整体意识，提高直觉洞察能力

整体意识体现数学辩证思维的特性，对形成观察问题全局化、思维方式科学化等数学素养具有关键作用.直觉往往是从事物整体入手，对问题从总体上加以把握，它是对问题总体概括的反映.站在整体、全局的高度鸟瞰，纲举目张，就能洞察出事物之间的联系和问题的实质，有利于作出正确的直觉判断.

（1）梳理数学学科的知识结构，为直觉洞察提供依据

直觉思维不是凭空产生的，必须具有该学科的基本知识，了解该学科的研究方法，学科基本结构有利于对学科的深入理解和整体上的把握.所谓数学学科的基本结构，就是指数学学科的基本概念、基本公理定理、基本思想方法，以及它们之间的逻辑联系和理论框架，各个部分知识紧密联系，构成了严格的学科体系.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系.在教学中，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，整体系统地构建教学框架.学科的基本结构，是学生记忆、应用数学知识，从而达到举一反三，触类旁通的有力杠杆，也是发现问题、增强兴趣、探索发明的重要基础.因为数学学科的基本结构，是人类智慧活动的结晶，学生只有掌握了具有一定深度与广度的基本知识及其联系之后，才能使思维活动具有丰富的学科内容，才有可能从错综复杂的现象中直接而迅速地一眼洞察问题的本质和联系，才能避免无根据的想入非非和胡猜乱想.例如，学生在学习了有理数的运算律后，在进行实数运算时自然想到有理数的运算律.

作为教师，在引领学生解决问题时，要着眼于问题的整体，考察问题的条件之间内在联系和问题的结构等.在教学时要引导学生更关注数学概念、法则、定律、公式的结构，更关注几何基本图形的位置结构和数量关系.这样，才能增加思维的跨度，增强直觉洞察能力.在面临新的问题时才会将问题结构化模式化，从而达到数学知识的顺利应用.唯其如此，我们的学生才能逐步形成宏观把握、整体思考的初步意识.

（2）加强学科间的互补应用，为直觉洞察提供保障

作为人类社会的科学知识是相互关联的，并且可以整合成为一个统一的知识体系.长期以来，中、高考在分科考试的模式下，各科试题历来都注意避免“越科过界”.这种观点在很大程度上制约着学科考试的能力、考查的拓展，特别是对直觉思维能力的考查.近几年来试题研制时注意到这一点，测试力图在各学科之间建立起联系，根据事物及其发展的内在逻辑和规律，将知识重组、整合，构成一有机整体，以期在知识的交融、各种思想方法相互碰撞的过程中，产生更为深刻的思想内涵，也使学科考试中的直觉思维能力的考查显得更为广阔、生动和有效.

2.注重猜想能力的科学训练，提高直觉推理能力

高斯说：“没有大胆而放肆的猜想，就谈不上科学的发现.”猜想是一种难度较大跳跃式的创造性思维，我们要善于激发学生的求知欲，鼓励他们打破思维定势、打破形式逻辑的束缚，大胆猜测合情推理，对其结果严格逻辑论证.

（1）展现问题，激发猜想兴趣

思维永远是从问题开始的.在教学中，教师要善于通过实验、列举事例或引用已有知识，把有待解决的问题展现在学生面前，以激发学生的兴趣和追求真理的愿望.可向学生介绍著名的哥德巴赫猜想、黎曼猜想和四色猜想等，以激励斗志.教师要允许学生猜想各种问题，并进行热情鼓励和赞扬，使学生感到猜想的价值，合理性和教师的期望所在，从而使学生获得满意肯定的情绪体验和继续进行猜想的积极心理定向.

（2）适当示范，指导猜想办法

教师要给以适当的指导，使学生明白什么值得猜想，什么不值得猜想，应该如何猜想，并培养学生不怕讥笑、不怕出错和勇于自我修正的精神.教师要经常运用直觉思维对问题进行猜度，为学生做出示范，引发学生模仿.“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动.让学生猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生真正“触摸”到自己的研究对象，推动其思维的主动性.布鲁纳认为，如果学生从来没有见过他们的长辈有效地利用直觉思维的方法去解决问题，那么，他们就未必会相信和发展自己的直觉思维能力.一个善于运用直觉思维的教师所培养出来的学生，一般来说比较聪明.否则，训练出来的学生难免思想僵化，思路狭窄，其创造思维活动的速度和效率必然极低，难以适应现代社会的发展.

（3）启发诱导，拓宽猜想渠道

经常用启发式教育学生，有助于拓宽学生的直觉思维天地.例如教师可通过“打比方”、“举例子”等方式把抽象的概念具体化，深奥的道理形象化，枯燥的知识趣味化，如教学对顶角概念，教师戏谑“背靠背”，前提必须有相交直线；教学邻补角，教师念念有词：“所谓邻居邻居，一堵墙公用也！”在比较圆周角和圆心角概念时，教师说：“就如孙悟空翻不出如来佛手掌心，圆心角定义只要‘顶点在圆心’即可.”学生兴趣盎然，茅塞顿开.经常这样教学可引发学生的直觉联想.

（4）具体引导，运用多种猜想方式

教师要具体引导学生通过观察、试验、类比、探索等方式进行猜测，在教学中可以将课本上封闭型的例、习题改造成开放型的问题，为学生提供猜想的机会；或者编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望、猜想的积极性.

3.渗透数学思想方法及思维方法，建立直觉观念

数学思想方法和思维方法是思维的具体的路径，路径是否通畅，取决于对数学思想方法领会的程度.比如在等腰三角形复习课上，教师提问：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和是定值吗？若是，这定值等于什么？并证明你的结论.有的学生通过测量，得出结论是定值，但得不出定值等于什么；有的学生意识到任意一点可以是特殊点，比如底边中点、与底边端点重合的点，马上直觉判断出其定值等于腰上的高，开辟了正确而顺畅的思维通道，使接下的结论证明找到了指向和落脚点，体现了由特殊到一般的化归思想.

类比和归纳在数学发现的方法论中占据着很重要的位置，类比和归纳、联想介于逻辑思维和直觉思维之间，它们有效地沟通了逻辑思维与直觉思维，为实现逻辑上升到直觉这一认识上的质变奠定了基础.

4.渗透数学的哲学观点及审美观念，建构直觉意识

有关直觉的研究一直是哲学家的探究旨趣之一，数学直觉的更多研究大量体现在数学哲学与数学方法论领域中，其缘由是哲学观点有利于高屋建瓴的把握事物的本质.这种朴素的哲学观点，使一类问题的最终解决有了直觉指向.

要真正有效地实施这些策略，还要注意：

（1）要注意直觉思维能力培养的长期性、系统性和全面性

任何一件教育工作的进行与发展都不是一蹴而就的，思维的培养更不可能一朝一夕，它是一个循序渐进逐步渗透的过程.直觉思维能力是多方面的，要将直觉思维的培养融于平时的教学和解题训练中，尽量有足够的时间和空间为学生创设宽松热烈的研讨环境，让学生敞开心扉、各抒己见，形成一个充满对话、交流甚至辩论、争执的开放性情景，使思维相撞、沟通，激发数学灵感.

（2）要把握直觉思维与逻辑思维培养的平衡性

直觉思维和逻辑思维，作为人类不同的思维方式，它们各有自己的功能，直觉是发明工具，逻辑是证明工具，对于数学而言，它们构成了数学进展的两翼.两种思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展.在中学数学教学中，发展学生的直觉思维，应与逻辑思维密切结合，相辅相成，从而发展学生的创新思维.

总之，只有将直觉思维的培养真正融合到教师的教学实际和学生的生活经验中，充分调动学生的主体情感，树立多角度思考问题的习惯和意识，发挥他们内在的创新精神和创新能力，才能不断促进思维能力的整体发展，以适应新时期社会对人才的需求.

1.冯克诚，主编.中学数学课堂教学方法实用全书.内蒙古大学出版社.1999.

2.马忠林，主编.数学教学论、数学思维论.广西教学出版社.1998.