数学思想方法照耀下解答疑难问题

☉浙江省宁波市鄞州区石碶雅戈尔中学 林培娟

不等式是中学数学的重要组成部分，一元一次不等式则是各类不等式的基础和起点.含参数的一元一次不等式（组）试题更是各地竞赛的热门试题.这类试题技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响甚至阻碍学生正常思维的进行.求参数的值域、定义域等无不贯穿着不等式的求解技巧和方法，经常使用和掌握这些解题技巧，那么含参数的一元一次不等式（组）难题就会迎刃而解，正如著名数学家和数学教育家波利亚：一个想法使用一次是一个技巧，经过多次的使用就可以成为一种方法.一般性数学方法容易上升为一种思想，如化归方法常看成是化归思想，化归思想是各种问题解决中所体现出的转化方法的概括［1］.

其实，解决任何问题都需要方法，如果解决众多不同的问题使用的方法相同，那么这种方法就常被概括为解法思想或思想方法.在数学思想方法指导下解决数学问题可以说是达到了数学解题的最高境界.笔者在浙教版八年级上册第5章《一元一次不等式》教学过程中，将含参数的一元一次不等式（组）试题解题实践分为三类，结合实例，分别剖析以供借鉴.

一、巧用转化思想，把方程（组）转化成不等式

转化思想是解数学难题的一种重要思维方法，是分析问题和解决问题的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现.其实数学中的转化思想、始终贯穿于整个数学学习过程之中，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换.解含参数的的方程（组），往往是把参数当做常数先解方程（组），然后通过解的取值范围转化为参数不等式.

这是关于x，y的方程组，可以把a当做常数，通过加减消元法解出用含a的代数式表示的x，y的值，然后找到关键词“x为正数”和“y为非负数”，列出不等式转化为关于a的不等，式（组）.

这类问题解决可以简单明了的概括为：

（1）看到关键词，选中不等号；（2）解出方程（组）是关键；（3）转化思想是重点.

练一练：已知关于x的方程3x－m+1=2x－1的解不小于1，则m的取值范围是_____.

就解题的本质而言，解题既意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件；把一个综合问题转化为几个基本问题；把顺向思维转化为逆向思维等.这就是数学转化思想，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，大大加强学生学习数学的兴趣，最终提高解决问题的能力.因此学生学会转化思想，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力.转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题.在数学中，很多问题能化复杂为简单，化部分为整体，化一般为特殊……

二、合理使用分类讨论法，解决参数系数问题

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决［2］.分类讨论思想方法在数学中非常重要，它对于解决情况复杂的问题往往非常有效，能帮助解题者理清“杂乱无章”的思绪.一元一次不等式中，如果未知数的系数含有参数时，一般都需要对系数进行讨论.

例2 若x>y，且（2－a）x≤（2－a）y，求a的取值范围.

由不等式的基本性质，两边同除一个数（或式）时要进行分类讨论，首先这个数（或式）不能为零，其次，当这个数（或式）大于零时，不等式不改变方向，当这个数（或式）小于零时，不等式要改变方向.所以当系数2-a的值不确定时，通过对比不等式，不等式的符号改变了方向，对系数进行分类讨论.因为x>y，且（2－a）x≤（2－a）y，所以（2－a）≤0，要考虑小于或等于两种情况.

练一练：解关于x的不等式ax+2>x+5（其中a为任意实数）.

化为最简不等式（a-1）x>3后，左右两边同除a-1时，要分类讨论：

分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用.代数的解题过程，其实是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论.分类讨论的关键问题是对哪个变量进行分类，如何分类.分类时应满足要求：（1）保证分类对象不重不漏；（2）必须保持同一分类标准；（3）最后必须归纳小结.

三、巧用数形结合，确定参数范围

数轴是数与形的一次完美碰撞，数形结合思想是众多数学思想方法中的一种，在教学实践中，教材中也处处都蕴涵着数形结合思想.在浙教版的七年级第一章《有理数》借助于数轴直接有效地阐述了“相反数的定义”、“绝对值的意义”、“有理数大小的比较”等.在已知一元一次不等式组的解集求参数的取值范围时，也可巧用数轴解决问题.

不等式的解集可以在数轴上表示出来，但这里的m+1和2m-1都是不确定的，所以在数轴上的位置也不能确定，在数轴上任意取两个空心圈（没有等号时用空心圈表示，有等号时用实心圈表示）作为m+1和2m-1，因为x2m+1，轴上取2m+1的右边.如图1，当2m-1在m+1左边，即2m-1m+1时，不等式组还是无解，所以符合题意的有图2和图3，即当2m-1≥m+1时，不等式组无解.

图3

又如：已知一元一次不等式组整数解的个数，求字母m的取值范围.

例4 已知关于x的不等式mx-2≤0的负整数解只有-1，-2，则m的取值范围是_____.

图4

解一元一次不等式，因为未知数的系数为参数，所以先进行分类讨论：（1）m>0时，m有无数个负整数解；（2）m=0时，不等式恒成立，x为任何实数；（3）m<0时要使有两个负整数解，从图4可知

综上所述，数形结合的有效运用，使得解题直观明了，轻而易举.正如我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”所以在教学过程中，经常提醒学生“得意忘形”不可取.

回顾解题过程我们发现，含参数的不等式的成功求解，基于这三种重要思想方法的灵活运用，转化思想方法、分类思想方法、数形结合思想方法等，这几种方法是学习初中、高中甚至大学数学知识的重要方法.在解题教学中，我们不仅要授学生以鱼，更重要的是授之以渔，这是学生学好数学的最本质的方法.

1.顾泠沅.作为教育任务的数学思想与方法.

2.张学晖.分类讨论思想与数学解题［J］.新疆石油教育学院学报.1999（4）.