关于一道多项式定理的注记①

张洪刚

(吉林师范大学博达学院数学系，吉林 四平 136000)

0 引言

文献[1]中有一道关于两个多项式最大公因式的存在性定理:“对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式 u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).”文献[1]虽然在逻辑上严格的证明了上述定理，但并没有给出具体的u(x)，v(x)的表达形式.本文将利用矩阵理论给出上述定理证明的另外一种形式.

1 主要结果

定理1[1]对于 P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式 u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

证 如果f(x)，g(x)有一个为零，例如，g(x)=0，那么f(x)就是一个最大公因式，且f(x)=1·f(x)+1.0.

下面看一般情形.设g(x)≠0，利用带余除法可得.

若∂(r1(x))＜∂(g(x))，再由带余除法可得.

若∂(r2(x))＜∂(r1(x))，再由带余除法可得.

如此辗转相除，显然所得余式次数不断降低，即 ∂(g(x))＞ ∂(r1(x))＞ ∂(r2(x))＞ …

因此在有限次之后，必然余式为零，不妨设rn+1(x)=0，此时有

可得f(x)，g(x)的最大公因式与g(x)，r1(x)的最大公因式相同;g(x)，r1(x)的最大公因式与r1(x)，r2(x)的最大公因式相同;…;rn－1(x)，rn(x)的最大公因式与rn(x)，0的最大公因式相同.故可知f(x)，g(x)的最大公因式为rn(x)，即 d(x)=rn(x).[1]

下面来求 P[x]中多项式 u(x)，v(x)，满足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

将(1)，(2)，…，(n)写成矩阵乘积的形式:

例 求多项式f(x)=x4+2x3－x2－4x－2，g(x)=x4+x3－x2－2x－2的一个最大公因式d(x)，并求多项式 u(x)，v(x)，满足 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).[1]

解 由带余除法易得

f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)…(1)，其中 q1(x)=1，r1(x)=x3－ 2x

g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)…(2)，其中q2(x)=x+1，r2(x)=x2－ 2

r1(x)=q3(x)r2(x)+0…(3)，其中 q3(x)=x，r3(x)=0.

由定理1可知f(x)，g(x)的一个最大公因式为 r2(x)，即 d(x)=x2－2.

将(1)，(2)写成矩阵的形式得

令 u(x)=(－1)2－1x2=－x－1，v(x)=(－1)2y2=x+2即为所求.

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2010:9－14，45.