关于(m,n)-凝聚环

2012-11-02 07:14龚志伟
关键词:维数同构度量

龚志伟

(福建农林大学 计算机与信息学院,福建 福州 350002)

0 引言

本文总设环为有单位元的结合环,模均为酉模,用pd,fd表示模的投射维数,平坦维数。其余未指明的定义和符号可参见文献[1]和[2]。

1984年 Ng.H.K.在文[3]定义并研究了模的有限表现维数(f.p.dim)的概念,它度量了一个模为有限表现模的程度.1989年丁南庆教授在文[4]中定义了M的有限生成维数f.g.d(M),它度量了模M为有限生成模的程度。作为推广,在文[5]中研究了模的n-表现维数FPnd(M)。它度量了一个模M为n-表现模的程度。

作为n-表现维数的应用,本文利用n-表现维数引进了(m,n)-内射模及(m,n)-平坦模的概念,讨论了它们的性质,并引进了右(m,n)-凝聚环的概念,给出了右(m,n)-凝聚环的若干刻画。

预备知识:

定义1.1 设M为右R-模,定义M的n-表现维数为

其中 Pm,…,Pm+n是有限生成的}。

若无上述分解存在,则定义FPnd(M)=∞。

显然,FP0d(M)即为文[4]中的有限生成维数f.g.d(M),FP1d(M)即为文[3]中的有限表现维数f.p.d(M)。由定义1.1 知,M 是n - 表现模当且仅当FPnd(M)=0。

1 (m,n)-内射模与(m,n)-平坦模

定义2.1(1)设m,n是非负整数,M为右R-模,若对任意右 R-模 P,且FPnd(P)=m,都有(P,M)=0,则称 M 是(m,n)-内射的。

(2)设m,n是非负整数,M为右R-模,若对任意左R-模 Q,且 FPnd(Q)=m,都有(M,Q)=0,则称M是(m,n)-平坦的。(m,n)-内射左R-模和(m,n)-平坦左R-模可类似的定义。

显然,右R-模M 是(0,n)-内射的((0,n)-平坦的)当且仅当它是n-FP-内射的(n-平坦的)。

命题 2.2 设{Mi}i∈Ⅰ是右 R - 模集,m,n 是非负整数,则

(1)⊕ⅠMi是(m,n)-平坦的当且仅当每个Mi是(m,n)-平坦的。

(2)ⅡⅠMi是(m,n)-内射的当且仅当每个Mi是(m,n)-内射的。

命题2.3 M是(m,n)-平坦右R-模当且仅当M*是(m,n)-内射左R-模。

命题2.4(1)(m,n)-平坦模的纯子模是(m,n)-平坦的。

(2)(m,n)-内射模的纯子模是(m,n)-内射的。

证明(1)设M是(m,n)-平坦模,N是M的纯子模,则由纯正合列

可知,有可列正合列

由命题2.3可知M*是(m,n)-内射的,从而由命题2.2可知N*是(m,n)-内射的,又由命题2.3可知N是(m,n)-平坦的。

(2)设N是(m,n)-内射模M的纯子模,且FPnd(P)=m,则存在投射分解

其中Pm,…,Pm+n是有限生成的。令 K=kerdm-1,则K 是n-表现的。因为(K,M)≅(P,M)=0,所以由文[6,命题 2.6]可知,(P,N)≅(K,N)=0.即N 是(m,n)-内射的。

2 (m,n)-凝聚环的刻画

定义3.1 环R称为右(m,n)-凝聚环,如果对于每个n-表现维数为m的右R-模P均有FPnd(P)=FPn+1d(P).

定理3.2 设R是环,m,n是非负整数,则下列叙述等价.

(1)R是右(m,n)-凝聚环。

(2)对任意左R - 模集{Mi}i∈Ⅰ和右R-模P,且FPnd(P)=m,都有(P,ⅡⅠMi)≅(P,Mi)。

(3)(m,n)-平坦左R-模的任意直积是(m,n)-平坦的。

(4)RR的任意直积是(m,n)-平坦的。

(5)对任意右R-模正向系(Mi)Ⅰ和右R-模P,且FPnd(P)=m,都有Extm+n(P,Mi)≅Extm+n(P,Mi).

(6)任意(m,n)-内射模的正向极限是(m,n)-内射的。

(8)对任意的右R-模M,M是(m,n)-内射的当且仅当M*是(m,n)-平坦的。

(9)对任意的右R-模M,M是(m,n)-内射的当且仅当M**是(m,n)-内射的。

(10)对任意的左R-模U,U是(m,n)-平坦的当且仅当U**是(m,n)-平坦的。

证明(1) ⇒(2).设 FPnd(P)=m,因为 R是右(m,n)-凝聚环,所以FPn+1d(P)=m,从而有投射分解

其中Pm,…,Pm+n+1是有限生成的。设Ki=kerdi,则Km+n-1是有限表现的。由于对于任意左R-模集{Mi}i∈Ⅰ,有如下的行正合交换图,

因为 Km+n-1,Pm+n-1是有限表现的,所以由[7,命题5.11]可知 g,h同构,从而f也是同构的。因此,

(2)⇒(3)⇒(4)是显然的。

(4)⇒(1).对于给定的模P,且FPnd(P)=m,则在上面交换图中 Km+n-1是有限表现的。设 Mi=RR,由(4)有

又由[7,命题5.11]可知 h,k同构,因此 g是同构的,又由[7,命题5.11]可知 Km+n是有限表现的,因此FPn+1d(P)≤m,又因为m=FPnd(P)≤FPn+1d(P),所以 FPnd(P)=FPn+1d(P),故 R 是右(m,n)-凝聚环。

(1)⇒(7).设 FPnd(P)=m,因为 R是右(m,n)-凝聚环,所以FPn+1d(P)=m,从而有投射分解

其中 Pm,…,Pm+n+1是有限生成的。设 Ki=kerdi,则Km+n-1是有限表现的。由于对于任意左R-模集{Mi}i∈Ⅰ,有如下的行正合交换图,

由[9,引理3.60]可知,任意有限表现模P和内射模C有

因为 Km+n-1,Pm+n-1是有限表现的,所以 g,h 同构,从而f也是同构的。因此,

(7)⇒(8).设 S=Z,C=Q/Z,B=M,则由(7)可知有(P,M*)≅(P,M)*,因此(8)成立。

(8)⇒(9).注意到0→M*→M**是可裂的(由[1,命题20.14])。若 M**是(m,n)-内射的,由(8)可知M***是(m,n)-平坦的,因此 M*是(m,n)-平坦的,又由(8)可知M是(m,n)-内射的.反之,若M是(m,n)-内射的,由(8)可知M*是(m,n)-平坦的,从而由命题2.3可知M**是(m,n)-内射的。

(9)⇒(10).U**是(m,n)-平坦的,则由命题2.3可知,当且仅当 U***是(m,n)-内射的,由(9)可知,当且仅当U*是(m,n)-内射的,从而又由命题2.3可知,当且仅当U是(m,n)-平坦的。

(10)⇒(4).由命题2.2 可知,⊕ⅠR 是(m,n)-平坦的,所以由(10)可知(⊕ⅠR)**≅(ⅡⅠR*)*是(m,n)-平坦的.又由[10,引理1(1)]可知,⊕ⅠR*是ⅡⅠR*的纯子模,从而(ⅡⅠR*)*→(⊕ⅠR*)*→0可裂,因此ⅡⅠR**≅(⊕ⅠR*)*是(m,n)-平坦的。又由[10,引理 1(2)]可知,ⅡⅠR 是ⅡⅠR**的纯子模,从而由命题2.4可知.ⅡⅠR是(m,n)-平坦的。

[1]Anderson F W,Fuller K R.Ring and categories of modules:2nd edition[M].New York:Spring - Verlag,1992.

[2]佟文廷.同调代数引论[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]Ng H K.Finitely presented dimension of commutative rings and modules[J].Pacific of Math,1984,113:417 -431.

[4]丁南庆.模的有限生成维数[J].南京大学学报数学半年刊,1989(1):107-111.

[5]龚志伟,翟峰,周德旭.关于n-表现维数[J].福建师范大学学报,2009,25(2):6 -9.

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[8]Glaz S.Commutative coherent rings[M].Lect.Notes Math.1371,Berlin:Springer- Verlag,1989.

[9]Rotman J J.An introduction to homological algebra[M].New York:Academic Press,1979.

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