高等代数中共性问题的教学探究*

张淑娜，李宗娟

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)

高等代数课程是大学数学重要的专业基础课之一.通过这门课程的学习,可以培养学生的抽象思维、逻辑推理能力,提高学生的数学修养.同时，该课程的理论是后继课程的基石，对后继课程的学习起到至关重要的作用.但是，高等代数课程的概念、计算、定理及其证明繁多，计算及证明又依赖于概念和基本理论.因而,无论是从一般的数学知识的学习过程,还是从该课程本身的特点出发,概念和基本理论的教学都是整个课程教学过程中的一个重要环节,必须引起教师的高度重视.下面对高等代数的几组重要概念和理论加以比较，可明显地看到对有共性的概念和理论求同存异地教学，能很好地帮助学生理解和掌握这些概念及理论，为计算及证明打好基础，提高该课程的教学效果.

1 共性概念的教学

1.1 线性变换与两个线性空间同构

线性变换是指线性空间V自身到自身的映射σ，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中任意数k，都有①σ(α+β)=σ(α)+σ(β)；②σ(kα)=kσ(α).

两个线性空间同构是指数域P上两个线性空间V到W之间有一个映射ρ，且具有以下性质①ρ(α+β)=ρ(α)+ρ(β)；②ρ(kα)=kρ(α)．其中α,β是V中任意向量，k是P中任意数.

显然，两个概念的相同点：两者必须满足两条相同的性质.一是V中任意两个向量的和的像等于像的和，二是任一向量的数量倍的像等于此向量像的相同数量倍.不同点：线性变换只要求同一个空间之间有一个映射，而同构是两个线性空间之间必须存在着一个双射.按照高等代数的知识体系，先是介绍同构的概念.因而，当教者在讲授线性变换概念时参照同构的概念加以讲解，只是将定义的对象改变，将两个线性空间之间的对应换成线性空间自身到自身的对应，将双射对应换成映射，而应满足的两条性质不变.这样，既易于学生接受线性变换这个新概念，又使学生对同构的概念加深理解.

1.2 向量组的极大无关组，齐次线性方程组的基础解系与线性空间的基

向量组的极大无关组是指一个向量组α1,α2,…,αl的一个部分组αi1,αi2，…,αir(r≤l)如果①部分组αi1,αi2,…,αir(r≤l)本身是线性无关的；②向量组α1,α2,…,αl中任意一个向量都可由这个部分组αi1,αi2,…,αir线性表出.

齐次线性方程组的基础解系是指一个齐次线性方程组的一组解η1,η2,…,ηm，如果①此组解η1,η2,…,ηm是线性无关的；②方程组的任意一个解都能表成η1,η2,…,ηm的线性组合.

线性空间的基是指线性空间V的一组向量组ε1,ε2,…,εn，如果①此向量组ε1,ε2,…,εn是线性无关的；②设α是V中任一向量，则ε1,ε2,…,εn,α线性相关，即α可由ε1,ε2,…,εn线性表示.

显然，三者的相同点：被定义的对象首先是一组线性无关向量组．其次，此向量组可以线性表示原向量组或空间向量的每一个向量.三者的不同点：极大线性无关组的定义对象为一个向量组，基的定义对象为线性空间，基础解系的定义对象为一个齐次线性方程组的解.总之，定义的对象不同得到不同的概念.此组三个概念万变不离其宗.在授课的过程中，讲清楚三个概念的两个本质，即它们的共同点，剖析好它们的不同点，便可使学生很好地掌握这三个概念.

1.3 过渡矩阵与线性变换的矩阵

过渡矩阵和线性变换下的矩阵均是某个n维线性空间V的一组基的线性组合的n个表达式，由基向量组的每一个基向量的表示系数，按照它们在表达式的位置而得到的转置矩阵，即表示系数作为相对应的列而得到的矩阵.二者的不同点：过渡矩阵的n个表达式，是由某个n维线性空间V的某一组基的线性组合，来表示此线性空间的另一组基中的每一个向量；而线性变换下的矩阵表达式，都是某个n维线性空间V的一组基的线性组合，来表示此组基中的每一个向量在此线性变换下的像.

学生先接触的是过渡矩阵，且学过此概念后，最容易犯的错误就是将基向量的表示系数，按照在表达式中的位置，直接得到所要求的过渡矩阵，而忘记将此矩阵转置才是所求的矩阵.在讲授过渡矩阵概念时，应着意强调矩阵的转置，以免学生犯错.在以后接触线性变换矩阵时，再将其与过渡矩阵相比，重申矩阵的转置.通过类比讲解，会大大减少学生犯错误的概率，加深学生对两个概念的理解.

1.4 向量在基下的坐标关系

向量在两组不同基下的坐标关系:数域P上n维线性空间V中任一向量ξ在基εi(i=1,2,…,n)下的坐标为(x1,x2,…,xn)，在另一组基ε'i(i=1,2,…,n)下的坐标为(x'1,x2,…,x'n)，且由基εi到ε'i(i=1,2,…,n)的过渡矩阵为A,则(x'1,x'2,…,x'n)T=A(x1,x2,…,xn)T.

某向量的坐标和它的像的坐标关系：数域P上n维线性空间V的一个线性变换σ，在它的一组基ηi(i=1,2,…,n)下的矩阵为T,又V中任一向量ξ'与其像σξ'，在此基下的坐标分别为(y,y2,…,yn)及(y'1,y'2,…,y'n)，则有(y'1,y'2,…,y'n)T=T(y1,y2,…,yn).

两个关系等式的相同点：都是一组坐标左乘矩阵等于另外一组坐标，用矩阵作桥梁连接两组坐标之间的关系.不同点：某一向量在两组不同基下的坐标关系式，作为纽带的矩阵，是第一组基到第二组基的过渡矩阵，此过渡矩阵右乘此向量在第一组基下的坐标，等于它在第二组基下的坐标.而某一向量在某一组基下的坐标和它的像在相同基下的坐标关系式中，作为纽带的矩阵，是线性变换下的矩阵，右乘此向量在这组基下的坐标，等于此向量在线性变换下的像的坐标.

2 共性理论的教学

2.1 向量组的线性性与齐次方程组解的情况之间的联系

(1)向量组的线性性．向量组α1,α2,…,αt(t≥1)称为线性相关的，如果有数域P中的一组不全为零的数r1,r2,…,rt使得

r1α1+r2α2+…+rtαt=0.(*)

否则，称为线性无关的向量组.

分析：从(*)式可明显看出r1=r2=…=rt=0时，等式恒成立.除此种情况外，若再找到一组不全为零的数满足(*)式，则此向量组为线性相关的.如若再也找不到一组不全为零的数满足(*)式，则此向量组为线性无关的.

2.2 生成子空间的基与极大无关组的关系

1)若i=s，则α1,α2,…,αs本身为极大无关组，那么由它们生成的子空间L(α1,α2,…,αs)的基为α1,α2,…,αs，且dimL(α1,α2,…,αs)=s.

2)若i

例1 求由向量组α1,α2,α3生成的子空间L(α1,α2,α3)的一组基及维数，其中

α1=(1,2,3),α2=(7,4,9),α3=(5,0,3)

3 小结

本文从高等代数的共性概念和共性理论两个方面，阐述了高等代数共性问题的教学．在授课过程中，只要将有共性问题的第一个概念或理论讲清晰，后面的与其对比进行讲解，不仅使学生感到思路清晰，接受得又快又好，印象也会深刻，而且也能激发学生的学习兴趣，会起到事半功倍的教学效果．

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]王萼钟.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2002.