电磁场矢势与标势的特性——关于电磁场是由有能与无能两部分物质组成的论证

文钦若

(河北大学 河北 保定 071002)

1 电磁场的矢势与标势

(1)

(2)

其中A称为电磁场的矢势，而φ称为电磁场的标势.由数学公式·(×A)=0可知，式(2)中的第一式是由·B=0得到的.将B=×A代入式(1)中的第三式得

在数学中可证，一种矢量场为有势场的充分必要条件是这种矢量场的旋度为零[1]，所以可令

这就是式(2)中的第二式.如果B不随时间t变化，则式(2)中的第二式化为E=-φ，这时常将φ称为电势.当B不随时间t变化时，根据式(1)中的第三式或根据×(φ)=0可得×E=0，所以,当B不随t变化时的电场称为无旋电场.显然，静电场是无旋电场.

2 等效描写

如果a中的元素与b中的元素彼此对应，且已知a便可求出b，已知b便可求出a，便称a与b等效.在式(2)中，已知A，φ便可求出B，E，但已知B，E却不能求出唯一的A，φ，所以A，φ与B，E并不是完全等效的.为了使A，φ与B，E等效，在式(2)中便只能由A，φ求B，E，而由B，E求A，φ便应寻找其他合理的方法.下面将讨论这个问题.

2.1 B场产生A场

(3)

(4)

其中l为σ的边界线.式(4)类似于安培环路定理.因此，类似于电流密度产生磁场强度的规律，可认为A场是由B场产生的.仿照毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律，可认为体积元dV内的B在距此体积元r处产生的dA由下式给出

(5)

式(5)对全空间积分后可求出确定的A.

2.2 E′场产生的φ场

根据式(5)求出A后，便可求出

则式(2)的第二式化为

(6)

可见，E′为无旋电场强度.假设体积元dV内的E′在距此体积元r处产生的dφ由下式给出

(7)

式(7)对全空间积分后可求出确定的φ.对于静电场，E′=E，对于点电荷q的电场，由式(7)可得

(8)

式(8)与通常所见到的点电荷的电势是相同的，只是在通常所见到的点电荷的电势中可以含一个与位置无关的常量项(电势零点)而已.通过电势的叠加原理便可以由式(8)求出任意带电体系的电势φ.

3 对电磁场的两种观点

3.1 第一种观点

通常认为B与E是描写电磁场最基本的物理量，引入A与φ只是为了对某些问题的讨论比较方便，而其实质并无变化.或者说，用A与φ描写电磁场只是改变了描述方式而已，而真正起作用的仍旧是B场与E场.在这种观点中，只用到式(2)而不考虑式(5)与式(7).由于已知B，E时，从式(2)不能求出唯一的A，φ，则说明B，E所对应的A，φ具有一定的任意性.在物理学中,总是将某种任意性下的不变性与某种对称性联系起来，例如，当一个物理体系绕z轴旋转任意角度后，若物理体系的状态保持不变，便称这个物理体系具有轴对称性.当由不同的A，φ可以求出相同的B，E时，便称电磁场具有规范对称性.在电磁学中，上述观点并未发现存在任何问题.但自从A-B(Aharonov-Borm)效应[2]与A-C(Aharonov-Casher)效应被实验验证后，这种观点存在的问题便显露出来.另一方面，在×H=i中从来不将H场与i场视为对同一种场的不同描述方式，那么在×A=B中为什么要将A场与B场视为对同一种场的不同描述方式呢？

3.2 第二种观点

这种观点与式(5)和式(7)有关.这种观点认为，B场与E场只是电磁场的一部分.B场与E场具有两个明显的特点，即携带能量与可以屏蔽，这两个特点都已被实验证实，所以，可将B场与E场称为电磁场的有能部分.电磁场的另一个部分是A场与φ场，A场与φ场也具有两个特点，即不携带能量与不可以屏蔽，所以，可将A场与φ场称为电磁场的无能部分.下面分别对A场与φ场的两个特点予以说明.

(1)根据式(5)可求出密绕长螺线管外A不为零(设螺线管内的B≠0)，但是由A求得螺线管外的B=0，所以，推知密绕长螺线管外的A场不携带能量.根据式(7)可求出在带电导体球壳内部的φ不为零但为常量，则导体球壳内部的E=0，所以，带电导体球壳内部的φ场不携带能量.在B与E以及A与φ都不为零的区域内，只要认为电磁场的全部能量都由B场与E场携带，则A场与φ场便不携带能量.

(2)在式(5)与式(7)中不含磁导率与介电常数，所以，可认为由B与E所产生的A场与φ场与介质无关，从而使得A场与φ场都是不可屏蔽的.A场与φ场不携带能量也应是导致A场与φ场不可屏蔽的原因.如果在密绕长螺线管外填入不同的介质或不均匀的介质，应不会影响螺线管外A的值；在带电导体球壳内填入不同的介质或不均匀的介质也不应影响导体球壳内φ的值.

在上面的讨论中，认为A场是由B场产生的，φ场是由E′场产生的，严格说来，“产生”一词并不确切，这是因为A场与B场应该是同时存在的场，φ场与E′场也应该是同时存在的场之故.通常认为，质点的引力场应该是同时存在的，所以，质点与它的引力场之间的关系应该是一种结构关系而不是产生与被产生的关系.由于习惯原因，在此文中仍沿用“产生”一词.

参考文献

1 (俄)斯米尔诺夫.高等数学教材(第二卷第二分册).孙念增译.北京：人民教育出版社，1956.110

2 Y.Aharonov And Bohm.Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory.The Physical Review Second Series,Vol 115 No 3,August 1,1959