形似质同与形似质异

成树明

(滨州市滨城区第一中学 山东 滨州 256600)

一题多变通常是由一道母题从题设条件的变换、数据衍变、设问转化等角度进行变式拓展.一题多变是拓展学生思维，提高学生解题能力的有效方法.拓展后的新题与原题大多本质相同，也有本质不同的，现举例说明如下．

【母题1】如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN．OP与水平方向的夹角为α．下列关系正确的是

图1

分析：以小滑块为研究对象，受重力mg，水平外力F和半球形容器的支持力FN作用，支持力的方向垂直于接触面，放在半球形碗内的物体所受弹力方向指向球心．本题为典型的三力平衡模型，下面尝试选择不同方法加以解答．

方法1：正交分解

沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，如图2所示.

由题意可得

FNcosα=FFNsinα=mg

联立解得

本题答案为选项A．

图2

方法2：拉密原理

由图2，根据拉密原理，可得

解得

故本题答案为选项A．

图3

方法3：三力平衡时，两力之和与第三力等大反向

水平外力F与半球形容器的支持力FN的合力F′大小等于重力mg，方向竖直向上，如图3所示.

由图3可得

解得

故本题答案为选项A．

方法4：矢量三角形法

图4

三力平衡，构建首尾相接的力的矢量三角形，如图4所示.

由图4可得

解得

故本题答案为选项A．

本题应用了4种方法解答，处理三力平衡问题方法比较多，也比较灵活，具体问题中可根据题目条件和解答方便选择恰当的方法作答．

图5

解析：以质量为m2的小球为研究对象，受重力m2g和绳子的拉力FT，二力平衡，有FT=m2g.以质量为m1的小球为研究对象，除了受重力m1g和碗的支持力FN外，还受到与水平方向成60°角的绳子的拉力FT作用，其受力情况与母题中的小滑块类似，均为三力平衡，且重力和支持力的方向与母题相同，可用母题中提供的多种方法求解，正确答案为选项A.

【拓展2】在拓展1的基础上，如图6所示，当两球处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=90°，质量为m2的小球位于水平地面上，设此时细线的拉力大小为FT，质量为m2的小球对地面的压力大小为FN，则

C.FN=m2g

D.FN=(m2-m1)g

图6

解析：拓展1与母题本质相同，均为三力平衡，拓展2虽与拓展1看似变化不大，但本质已发生变化.以质量为m1的小球为研究对象，竖直方向受重力m1g和碗的支持力N作用，考虑到小球处于平衡状态，这时绳子对其拉力必为零，否则小球不可能平衡，即FT=0.再以质量为m2的小球为研究对象，由于绳子拉力为零，小球所受重力与地面的支持力二力平衡，由牛顿第三定律知，小球对地面的压力大小为FN=m2g，故本题答案为选项C.本题考查二力平衡，而不是三力平衡.

【母题2】如图7所示，粗糙的水平地面上有一倾角为θ的斜面体，一质量为m的物块在竖直向下的恒力F作用下沿斜面匀速下滑．若力F沿逆时针缓慢转过2θ的过程中，物块仍沿斜面下滑，斜面体始终保持静止．试分析地面与斜面体之间的摩擦力.

分析：开始物块沿斜面匀速下滑，则在沿斜面方向有(mg+F)sinθ=μ(mg+F)cosθ，解得μ=tanθ，此时，斜面对物块的支持力与滑动摩擦力的合力方向竖直向上，根据牛顿第三定律知，物块对斜面的压力和滑动摩擦力的合力方向竖直向下．物块沿斜面下滑时，因Ff=μFN，只要满足μ=tanθ，不管压力多大，物块对斜面的压力和滑动摩擦力的合力方向总是竖直向下，所以，地面与斜面体之间无摩擦力．这时的斜面倾角θ通常称为摩擦角．

图7

【拓展1】将母题中的初态改为一质量为m的物块沿斜劈匀速下滑时,末态改为现给物块施加一个与竖直方向夹角为θ的力F，如图8所示.物块仍沿斜面下滑，斜面体始终保持静止．试分析地面与斜面体之间的摩擦力.

图8

分析：拓展1与母题比较，不仅形似，而且本质相同，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ=tanθ，这时物块对斜面的压力和摩擦力的合力方向仍竖直向下，所以地面与斜面体之间无摩擦力．

【拓展2】初态与拓展1相同，将末态改为物块在水平向右的恒力F作用下沿斜面匀速上升，如图9所示，斜面体始终保持静止．试分析地面与斜面体之间的摩擦力.

图9

分析：拓展2与母题、拓展1比较，虽然形似，但本质已发生变化，不再是摩擦角问题.由于斜面体和物块均处于平衡状态，以整体为研究对象，可知地面对斜面体的静摩擦力大小为F，方向水平向左.

【母题3】如图10所示，ad，bd，cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a，b，c，d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点．每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a，b，c处由静止释放，用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，试比较t1，t2，t3的大小.

图10

【拓展1】如图11所示，ad，bd，cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a，b，c，d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，a点为最低点.每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从d处由静止释放，用t1，t2，t3依次表示各滑环到达a,b,c处所用的时间，试比较t1，t2，t3的大小.

图11

【拓展2】如图12所示，oa，ob，oc是竖直面内三根固定的光滑细杆，o，a，b，c，d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，a点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环都从o点无初速释放，用t1，t2，t3依次表示滑环到达a，b，c所用的时间，试比较t1，t2，t3的大小.

图12

定量比较t2和t3的大小关系，要进行相关数学推导，因为沿圆周从a处向c处移动的过程中，滑杆过圆心后，杆长度变短，滑环加速度变小，无法定性判断所用时间如何变化.

图13

如图13所示，假设oe恰好过圆心，它与ad的夹角θ0为一定值，设of与oe的夹角为θ，则of与竖直方向的夹角为(θ0+θ)，有

解得

(1)

令

则

所以，函数f(θ)为增函数，则原函数式(1)也为增函数，因此滑杆过圆心后，继续向上移动的过程中，θ角变大，所用时间变长，有t3>t2，因此有t3>t2>t1.

此题其实还有如下两种解法.

解法1:

式(1)整理后得

式中R,g,θ0为常量，当θ增大时，时间是增加的，结论同上.

解法2:

图14

也可以用等时圆的方法，即找到三根滑杆对应的等时圆,比较它们的直径(或半径)即可.方法如下,分别做a,b,c三根滑杆对应的等时圆的直径如图14所示，利用前面的结论可知,o到a的时间等于o到a′的时间,o到b的时间等于o到b′的时间,o到c的时间等于o到c′的时间，由图可知t3>t2>t1.

为了提高习题训练的效益，教学中要精选例题，一题多变是实现这一目标的重要途径之一．要引导学生科学构建物理模型，区分一题多变中的形似质同与形似质异，可使学生克服思维定式，有利于培养学生的创造性思维与发散性思维，以达到提高综合能力的目的．