Maple在研究多体耦合摆振动规律中的应用

姜付锦 朱木清

(武汉市黄陂一中 湖北 武汉 430030)

在基础理论研究中有关耦合谐振子系统的精确求解具有广泛意义.文献[1]用拉格朗日方程和简正坐标研究了两体耦合摆系统振动的规律，得到了耦合摆振动方程的通解，但解中的任意常数没有给出.文献[2]基于利用不变特征算符法，推导了三体耦合摆系统的角频率及其对应的简正坐标与共轭动量，并且推导了明显的系统的简正频率解析解表达式及系统严格的波函数，但对三体耦合摆系统的振动方程的解析解没有给出.本文的工作基于牛顿力学知识写出多体耦合摆系统的动力学微分方程，并利用数学软件Maple对耦合摆系统动力学微分方程进行求解和数值模拟，得到了系统的明显简正频率和振动方程的解析解.

1 多体耦合摆系统的动力学方程

如图1所示，对于多体耦合摆系统，由n个完全相同的弹簧振子构成，并且θi≤5°(i=1,2,…,n)时，即简谐近似下，由牛顿力学知识写出体系的微分动力学方程如下.

图1 多体耦合摆系统的振动图示

其中κ为弹簧的劲度系数，m为谐振子的质量(弹簧的质量忽略不计)，g为重力加速度，L为耦合摆长度.

2 双体耦合摆系统

双体耦合摆系统的微分动力学方程为

2．1 用Maple求方程组的解析解

文献[1,2]是用简正坐标来求解析解，过程较复杂.这里我们用一种全新方法求解，它就是Maple，这是一款被称为“数学家”的专业数学软件，在输入微分方程(组)，并给出初始值后就能解出微分方程(组)的解析解，而且还能进行数值模拟，如图2所示.

图2 用Maple解两体耦合摆的微分方程组

两体耦合摆的振动方程如下

式中x1,x2分别为两个摆的初始位置；v1,v2分别为两个摆的初始速度.由解析解可知耦合摆的简正频率为

与文献[1]中的结果相同，每个摆的振动方程是由4个分振动合成的，分振动的个数与系统的初始值有关.

2．2 用Maple进行数值模拟

令m=1 kg,L=10 m,g=10 m/s2,κ=0.1 N/m,x1=1 m,x2=0,v1=v2=0，则用Maple进行数值模拟如图3所示.

图3 用Maple进行振动方程的数值模拟

2．3 图形的分析

图4 耦合振动的位移随时间变化的规律

图5 耦合振动的速度随时间变化的规律

通过对图4,5的分析可以发现：

(1)让第一个摆振动起来以后，它的振幅是周期性变化的，当第一个摆振幅最大时，第二个摆振幅最小；当第二个摆振幅最大时，第一个摆振幅最小，且它们变化的周期和最大值相同，即达到了位移共振.

(2)当第一个摆的速度最大时，第二个摆速度最小；当第二个摆最大时，第一个摆速度最小，它们速度的变化周期和最大值相同，即达到了速度共振.

(3)两个摆之间机械能的传递是借助轻弹簧实现的，当一个摆的能量增加时，另一摆的能量就减小，但耦合振动系统的总能量守恒.

3 结语

通过对双体耦合摆的振动规律的研究可以发现,Maple强大的符号运算能力和数值模拟能力，所以,在平时的教学研究中,我们可以只需用物理规律建立物体的运动学微分方程(组)，然后,应用Maple进行符号求解和数值模拟，非常方便.如果耦合摆的个数大于2，则只需将以上的程序稍加修改即可，限于篇幅这里不再讨论.

参考文献

1 周柏衍.理论力学教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986.306～309

2 成泰民,孙立红.三体耦合摆量子系统的精确波函数.大学物理，2011，30(11)：7～9