例析物理极值问题的求解方法

张光新

(衡阳县第一中学 湖南 衡阳 421200)

中学物理习题中，经常遇到内容丰富、难度较大和技巧性较强的物理极值问题．求解物理极值问题要综合运用数学知识和物理知识，巧用数学函数、导数、数学函数图像和物理图像解答，能够培养学生综合分析问题和解决问题的能力．而运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的5种能力之一，应该得到足够重视．下面通过典型例题分析物理极值问题的常用求解方法．

1 利用一元二次函数求解

对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c，

【例1】如图1所示的电路中．电源的电动势E=12 V，内阻r=0.5 Ω，外电阻R1=2 Ω，R2=3 Ω，滑动变阻器R3=5 Ω．求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的电压表的示数有最大值,最大值是多少.

图1

解：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R. 则

Umax=E-Iminr=12-4×0.5=10 V

即变阻器的滑动头P滑到R3的aP间为3 Ω处，电压表有最大值，最大值为10 V．

2 利用三角函数求解

【例2】物体放置在水平地面上，物体与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？

分析：该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值．因此，可根据题意先找到与夹角有关的关系式再作分析．

图2

解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即

Fcosθ-f=0N+Fsinθ=Gf=μN

联立解得

3 利用基本不等式求解

【例3】一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放，如图3(a)所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，问小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

图3

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C点时，重力的功率为

P=mgvcosα=mgvsinθ

(1)

小球从水平位置到图3(b)中C位置时，机械能守恒有

(2)

令

y=cosθsin2θ

因为

又因为

2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2

当且仅当2cos2θ=sin2θ，y有最大值.

4 利用函数的导数求解

执行新课程标准后，高中数学增加了导数的内容，如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数，它正是曲线在该点处切线的斜率tanα．如果f′(x0) =0, 则在x0处函数有极值．

【例4】如图4(a)所示，相距2L的A和B两点固定着两个正点电荷，带电荷量均为Q．在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电荷量为q，质量为m的正检验电荷(不计重力) ．试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少.

图4

解：由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其他点所受合力均是沿中垂线方向的．当q运动到中垂线上的D点时，由图4(b)可知

故其加速度为

发现加速度是一个关于θ的函数，令f(θ)=sinθ-sin3θ，则f(θ)的导数为

f′(θ)=cosθ-3sin2θcosθ

令f′(θ)=0,即

cosθ-3sin2θcosθ=0

5 利用矢量三角形求解

在运动学中处理速度和位移，静力学中处理物体的平衡，我们经常运用矢量三角形来求解某个矢量的最小值问题．用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，既简便又形象，有事半功倍的效果．

【例5】质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中．当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图5(a)所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向．

图5

解：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，根据小球平衡可作出其所受重力、电场力和拉力的矢量三角形，如图5(b)．可见,当电场力qE和拉力F垂直时，电场力最小，即E最小．

由几何关系得mgsin30°=qEmin

方向如图5(b)垂直绳向上．

以上求极值的方法也是求解高考物理极值的常用方法．当然，除了以上方法还可以用配方法、二次方程的判别式等方法求极值问题．在使用中必须考虑实际问题，找出符合物理规律的物理方程或物理图像，利用恰当的数学模型，使用合适而有效的方法，解决物理极值问题．