具有饱和治愈率的离散SIS传染病模型的动力学性态

曹 慧, 王玉萍

(陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021)

0 引言

由于公共卫生部门收集的传染病数据都是以年、月、周、或者天为单位的离散数据，且离散模型比较容易理解和应用，因此，近年来有关离散传染病模型的应用和研究越来越多[1-3].离散传染病模型在描述SARS和肺结核等具体疾病的传播过程中已经得到了成功地应用[4-6].

目前，有关离散传染病模型的研究主要集中在定义和计算其基本再生数[7,8]、讨论疾病的消失与持久[6,8]、无病平衡点和地方病平衡点的存在性和稳定性等.此外，对离散传染病模型的分支问题(如跨临界分支、Flip分支、鞍结点分支、Hopf分支、以及倍周期分岔引起的混沌现象)也有一些研究[2,3].

与连续模型相比，离散模型具有更加丰富的动力学性态，能够得到更有趣和更复杂的结论.但是，由于离散动力系统理论和方法的限制，离散传染病模型的研究仍相对较少.在本文中，我们将研究一类具有饱和治愈率的离散SIS模型的动力学性态，包括平衡态的稳定性和系统的持久性.

1 模型

考虑感染者恢复后不具有免疫力的疾病传播问题，我们将总人口划分为易感者和染病者两类，分别用S(t)和I(t)表示t时刻在易感者和染病者类中的个体数量.用N(t)表示t时刻的人口总数，满足N(t)=S(t)+I(t).

我们忽略所考虑国家或地区中人口的迁入和迁出，假设生育是人口输入的唯一方式，并且为了阻断垂直传播，假设只有易感者可以生育，人口生育为常数Λ.

本文所讨论的具有饱和治愈率的离散SIS模型如下：

(1)

其中0

N(t+1)=Λ+PN(t)

(2)

利用极限系统理论可以得到模型(1)的极限系统如下：

(3)

在下面的讨论中，我们主要研究系统(3).极限系统理论可以保证系统(3)与系统(1)有相同的动力学性态.

2 系统的平衡点和稳定性

显然，在Δ>0的情况下，当R0<1时，方程有两个正根；当R0>1时，方程仅有唯一的正根.也就是，R0<1时，系统(3)存在无病平衡点P0，以及另外两个正平衡态P1=(S1,I1)和P2=(S2,I2)，其中，

相应地，S1=N*-I1，S2=N*-I2；而当R0>1时，模型有唯一的地方病平衡点P*=(S*,I*)，其中，

S*=N*-I*.

下面，我们将分别来讨论平衡点的稳定性.

2.1 R0<1时系统(3)平衡点的稳定性

我们利用Jury判据，结合数值计算来证明R0<1时，系统(3)平衡点的稳定性.

定理1 当R0<1,Δ>0时，系统(3)存在3个平衡点，其中无病平衡点P0和地方病平衡点P2是局部渐近稳定，地方病平衡点P1是不稳定的.

证明：平衡点的存在性上面已经分析，这里不再重述.首先来证明P0的稳定性.将系统(3)在P0处线性化可得：

显然，J1的特征根分别是p和pβ+p(1-γ).由于p<1，R0<1可以保证pβ+p(1-γ)<1成立，利用Jury判据[10]可知，P0是局部渐近稳定的.

下面,我们用数值的方法来讨论正平衡点P1和P2的稳定性.取Λ=10，p=0.9，β=0.2，γ=0.3，计算可得R0=0.486 5<1，正平衡点分别是P1=(S1,I1)=(87.851 5,12.148 5)，以及P2=(S2,I2)=(71.037 3,28.962 6).

以P2为例做数值证明.系统(3)在P2处的线性化矩阵为

直接计算可得J2的特征根分别是0.900 0，0.971 2.由于J2的特征根都小于1，利用Jury判据可知P1是局部渐近稳定的.类似的，可以证明P1是不稳定的.

结论得证.

定理1表明,如果对染病者的治疗不充分时，可能会导致疾病的持久.如图1所示，在R0<1时，除了局部稳定的无病平衡点以外，较大的地方病平衡点P2也是局部稳定的.

图1 系统(3)的后向分支图

2.2 R0>1时系统(3)平衡点的稳定性

当R0>1，Δ>0时，通过上面的分析可知系统(3)存在唯一的地方病平衡点P*.由于模型比较复杂，我们无法通过直接计算得到P*的确定表达式.这里，我们将用数值模拟的方法来展示地方病平衡点有可能是全局渐近稳定.

1.肥水产品。可选择全价可溶性高的肥料，也可选择腐熟后的猪粪、牛粪、鸡粪等生物肥（在生物肥中添加益生菌彻底腐熟后使用）。

取Λ=10，p=0.9，β=0.5，γ=0.3，计算可得R0=1.216 2>1，以及系统(3)的平衡点P*=(24.767 9,75.232 1).将系统(3)在P*处线性化可得下面的矩阵

经计算可知J*的特征根分别是0.672 3和0.900 0.由于特征根都小于1，利用Jury判据可知P*是局部渐近稳定.

我们继续用数值的方法展示P*可能是全局渐近稳定的.参数与上面取值相同，再分别为系统(3)取初值为(S(0),I(0))=(25,76.5)，(S(0),I(0))=(24,767 86,75.23)，以及(S(0),I(0))=(24,74)，可以得到下面的图2.图2显示R0>1时，系统(3)有唯一的地方病平衡点，并且是全局渐近稳定的.

图2 系统(3)地方病平衡点的全局稳定性

3 持久性

下面，我们来讨论R0>1时，系统(3)的持久性.

定理2 当R0>1时，系统(3)是持久的.

设M∂={(S(0),I(0))∈∂X0|Φt(S(0),I(0))∈∂X0,∀t≥0,t∈N}，我们先来证明M∂={(S,0)∈∂X0|S≥0}.显然，{(S,0)∈∂X0|S≥0}⊆M∂.如果(S(0),I(0))∈M∂，我们断言I(t)=0,∀t≥0,t∈N成立.否则，存在T≥0，使得I(t)>0，t≥T，t∈N.这个事实说明系统(3)取初值(S(0),I(0))∈M∂的解(S(t),I(t))不再属于M∂.

总结以上讨论可知，M∂={(S,0)∈∂X0|S≥0}成立，并且M∂中仅包含一个平衡点P0，在M∂中是全局渐近吸引的.

下面的方程

(4)

对于系统(3)相应于初值(S(0),I(0))∈X0的任意解(S(t),I(t))，我们进一步断言

(5)

否则，我们假设存在一个t1>0，t1∈N，使得I(t)≤ε，t≥t1，t∈N.进而，当t≥t1，t∈N时，我们有

(6)

方程(4)的解的全局吸引性说明存在一个t2≥t1，t2∈N，使得方程(6)的解满足S(t)≥S0-η,∀t≥t2,t∈N.

进而，当t≥t2,t∈N时，我们有

这个不等式说明系统(3)关于(X0,∂X0)是一致持久的.

4 讨论

由于离散传染病模型的应用比较方便，越来越多的离散模型被用来描述和探讨疾病传播过程中的各种问题.但由于离散传染病模型的动力学性态十分复杂，以及其自身理论和方法的限制，有关离散传染病模型动力学性态的研究与连续传染病模型相比还是很少.

在本文中,我们建立和研究了一类具有饱和治愈率的离散SIS传染病模型，得到了模型平衡点的存在性、稳定性和系统持久性的结论.我们的模型、方法和结论对离散传染病模型的应用及研究是一次成功的探索.

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