竖向荷载作用下的框架结构内力计算的分跨法

樊友景，高始慧

(1．郑州大学土木工程学院 河南郑州450001;2．郑州科技学院 土木建筑系 河南 郑州450064)

0 引言

竖向荷载(恒荷载和活荷载)是框架结构最主要的荷载．框架结构在竖向荷载作用下的内力计算是结构设计中最重要的计算．常用的计算方法有分层法和弯矩二次分配法［1－2］等．在分层法计算中，将上、下柱子的远端的刚结点假定为固定端，为了考虑到杆端刚结点的弹性约束作用，除底层柱外，将柱子的线刚度均乘以修正系数0．9，传递系数修正为1/3．这样的修正没有考虑杆件远端刚结点处杆件数目、各杆线刚度及梁柱刚度比值的影响，不够准确，因此计算误差较大，有时会达到百分之十几．另一方面，分层法将每一层作为一个计算单元，用多结点力矩分配法计算，计算单元多，计算工作量大，而且精度差．

作者考虑杆件远端刚结点处杆件数目、各杆线刚度的影响，推导出梁端的转动刚度和传递系数统一计算公式．以柱子及其左、右梁组成的单柱结构作为计算单元，对于多、高层框架结构，计算单元数目少，计算量就少;计算单元范围大，与实际情况更接近，计算精度更高．

1 分跨法推导

1．1 分跨法计算的基本假定

如图1所示框架结构．在竖向荷载作用下的内力计算问题，可分3步来完成，首先锁住结点，得到位移法基本结构，求出基本结构仅在荷载作用下产生的杆端力;然后放松结点，求结点位移产生的杆端力;最后将前两步结果叠加，得到最终杆端力．

由框架结构精确计算结果［1－2］可知，框架结构在竖向荷载作用下产生的侧向位移很小;并且，结点角位移对与该结点不相邻的杆件的杆端弯矩影响很小．如在图2(a)中，如假设各杆线刚度相同，结点A的力矩MA使A结点转动，产生的MAB是MA的1/4，MBA是MA的1/8，引起结点B处其他杆端的弯矩是MA的1/32，已经非常小了［3－4］．为了简化计算可以假定:

①忽略竖向荷载作用下的框架结构的水平侧移．

②忽略每根柱子上的结点角位移对其他柱子杆端弯矩的影响．③假定结点角位移只引起与其相邻的结点产生转动．

1．2 分跨法计算简图

根据上述假定①和②，图2(a)结构在结点位移作用下的内力计算，可以简化为图2(b)所示的简图进行，即把各根柱子及其左、右梁组成的单柱结构作为一个独立的计算单元，按力矩分配法计算．但是，梁的远端是不同形式的刚结点，即属于弹性支座，下节推导远端为刚结点时的杆端的转动刚度和传递系数统一计算公式．

1．3 分跨法计算过程

①锁住结点，求出梁的固端弯矩，进一步求出结点不平衡力矩，再将它们反向加在结点上(如图2(a))．

②将图2(a)结构分成图2(b)所示的单柱结构，分别用力矩分配法进行计算．

③在第②步中得到的柱子的弯矩即为其最终弯矩，而梁的最终弯矩为相邻两跨求得的梁端弯矩之和，再叠加上固端弯矩．

④叠加后的框架结点处各杆端弯矩基本上接近平衡，如果结点不平衡力矩较大，再在结点处进行一次力矩分配，但不传递．

图1 框架结构Fig．1 Structure of the frame

图2 分跨法计算简图Fig．2 Calculated diagram of divided span method

2 杆端转动刚度和传递系数的推导

杆件远端刚结点连接的杆件情况不同，各杆件线刚度不同，梁柱线刚度比不同，对杆件近端的转动刚度和传递系数的影响也不一样［4－5］．下面推导杆件远端为刚结点时近端的转动刚度和传递系数．

为了推导图2(a)中的AB梁A端的转动刚度和传递系数，取出ABFGH部分进行分析，根据上述假定③，将交于B点的各杆件的远端视为固定端(A端转动对结点FGH的影响已非常小)，如图3所示．如远端为铰支座，相应杆的线刚度乘以系数3/4;如为滑动支座，相应杆的线刚度乘以系数1/4．令图3中A端发生单位转角，结点B随之也产生转角θB，由此产生的A端弯矩(即为转动刚度SAB)及其他杆端弯矩为

图3 梁的转动刚度和传递系数Fig．3 Rotational stiffness and carry-over factor of beam

由B点的力矩平衡方程得到:

由(2)式解出θB=－0．5α，α=iAB/∑i为AB杆的线刚度iAB与交于B点的各杆线刚度之和的比值．将θB代入(1)的前两式得到杆件AB转动刚度SAB和传递系数CAB为

式中β=1－α/4为考虑杆件远端为刚结点时其线刚度的修正系数．

由(3)可见杆端的转动刚度和传递系数与其远端刚结点连接的杆件数目、各杆线刚度及其梁柱线刚度的比值有关．

当远端刚结点连接的其他杆的线刚度相对很小时，α≈1，β=0．75，C=0，相当于远端为铰支座时的转动刚度和传递系数．当远端刚结点连接的其他杆的线刚度很大时，α≈0，β=1，C=0．5，相当于远端为固定端时的转动刚度和传递系数．一般情况下，0＜α ＜1，0．75＜β ＜1，0＜C ＜0．5．只有当α =0．4时，才有β=0．9，C=1/3，对分层法来说，柱子线刚度是梁线刚度的4倍时，计算结果才比较精确．

3 算例［6］

某教学楼为4层钢筋混凝土框架结构，跨度、层高、荷载如图4所示，梁的截面尺寸:250 mm×600 mm，混凝土采用C20(E=2．55×104MPa);柱的截面尺寸:450 mm×450 mm，混凝土采用C30(E=3．0×104MPa)．现浇梁柱，楼盖为预应力圆孔板．

由于对称，取半边结构计算，杆件编号如图4．采用文中讨论的分跨法计算，可分为两个单柱结构计算．经两轮力矩分配后计算结果见表1．如按分层法计算需要分为4个计算单元计算，计算工作量大．由表1可见，分层法计算结果误差较大，最大为11．19%，而分跨法所得结果比较精确，最大误差为4．65%．

图4 竖向荷载作用下的框架结构Fig．4 Frame structure under vertical loads

表1 框架梁、柱端弯矩计算结果对比Tab．1 Comparisons of results by different methods

4 结语

结构内部相邻部分互为弹性约束，杆端受到的相邻部分的弹性约束情况与结点处杆件的数目及各杆线刚度有关．作者考虑了远端弹性约束的影响，推导出梁端转动刚度和传递系数的统一计算公式．计算竖向荷载作用下的框架结构内力的分跨法，对梁柱线刚度的比值没有限制，适用范围广，尤其是对高层结构，收敛速度快，精度也高．

［1］ 包世华．新编高层建筑结构［M］．2版．北京:知识产权出版社，2005:70－73．

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