三自由度运动平台的运动仿真及控制设计

聂良兵，王培俊，潘 璇，程宏钊

（西南交通大学机械工程学院，四川 成都 610031）

0 引言

在基于3－RPS的并联机器人运动学仿真相关研究工作中，主要存在以下不足:可视化程度低，难以提供逼真的三维仿真效果；运算速度慢，所写程序难以应用到真实的运动控制中；不易实现参数化的动态仿真；仿真内容受到相应软件功能模块的限制，程序扩展性差［1］。针对以上问题，自主研发了一套3－RPS机构的参数化实时动态的三维可视化仿真系统，并根据仿真结果，结合MPC2810运动控制卡，提出了一种机构运动控制理论。

1 3－RPS机构运动仿真系统功能模块

仿真系统主要由以下几个功能模块组成:

a.三维可视化显示模块，实现对三自由度机构的三维显示、视角变换等。

b.运动仿真模块，实现对运动平台进行逆解分析并对3个自由度进行运动仿真，对仿真结果进行整理保存。

c.机构正解模块，对运动平台进行正解分析，可根据用户的输入进行解算。

d.机构参数设置模块，向用户提供人机交互参数输入界面，实现对机构的动态仿真。

2 3－RPS机构仿真系统设计

2.1 三维模型的显示

在进行三维运动仿真前，必需完成三维模型的三维显示，这是完成后续各项功能的基础。OBJ文件是一种标准的3D模型文件格式，适合用于3D软件模型之间的互导。目前，几乎所有知名的主流3D软件都支持OBJ文件的读写。在系统中，编写了相应的函数来对OBJ文件进行解析和读取。通过Pro／E或3ds Max等三维软件，建立起三维基础模型，然后将其导出为OBJ文件，最后对其读取并绘制三维模型［2］。

2.2 3－RPS机构逆解分析

图1 3－RPS机构

3－RPS机构的典型形式如图1所示［3］。为进行三维运动仿真，首先应进行运动学逆解分析，以确定所要实现的运动。

A1，A2，A3表示电动缸与固定平台的销轴联接点，P1，P2，P3所形成的三角形表示运动平台。为便于表达和计算，设置了2个坐标系:固定不变的Oa－XYZ世界坐标系和固接于运动平台的Op－XYZ局部坐标系［4］。对于运动平台，应实现绕其自身坐标系Xp，Zp两轴的旋转运动和沿竖直方向的上下移动。首先，以运动平台为研究对象，设其绕Xp轴的旋转角度为α，其对应的旋转矩阵为MRotx；绕Zp轴的旋转角度为β，其对应的旋转矩阵为MRotz；沿竖直方向位移量为Height，其平移矩阵为MT，最终的模型变换矩阵为Mres，根据计算机图形学［5］有:

将矩阵 Mres左乘P1，P2，P3的初始坐标值，便可得到运动后各点的坐标值［6］。

2.3 三维模型的绘制

在进行了机构运动学逆解后，还需要正确地绘制三维模型。现以图1中A2，P2处的电动缸为例，阐述如何在OpenGL中正确绘制运动后的模型。

为动态改变电动缸的长度并简化绘制过程，在此处将电动缸分解为4部分进行绘制。电动缸的组成部件如图2所示，其中A，C，D部分的模型为固不变部分，B部分的长度则是可变的。电动缸的总长度应由以上4部分组成，设其为L，则有:

a，c，d为固定值；b为可变值。

图2 电动缸分解

按2.2节所述的方法，计算出运动后P2点的值，再假设用户将电动缸的总长度设为L，则可按以下流程进行电动缸模型的绘制:

a.假定一个电动缸模型坐标系，并在此坐标系中进行模型绘制。

b.在电动缸坐标系中的坐标原点处绘制A部分。

c.在电动缸坐标系中，将C部分沿Y轴方向平移L－d并进行绘制。

d.根据L，a，c，d的值计算出b的值，将B部分缩放至长度b，并在电动缸坐标系中沿Y轴方向移动L－c－d并绘制。

e.根据计算后的P2和A2的值，计算出P2A2的长度length，同样在电动缸坐标系中将D部分沿Y轴方向平移length并绘制。

f.根据A2和运动后点P2，计算出将电动缸坐标系转换为世界坐标系的变换矩阵［7］，并将此矩阵乘以OpenGL当前的模型变换矩阵。

机构的其他部分按照同样的方法进行绘制，其中主要采用了坐标系变换的方法。仿真最终效果如图3所示。

图3 仿真效果

用户可以通过各参数面板设置机构的尺寸，如座椅的长、宽、高，电动缸的安装位置和初始高度等。

2.4 运动仿真设计

系统主要对3－RPS运动平台3个自由度进行仿真，即侧翻、俯仰和竖直方向的运动。利用人机交互操作参数面板，可对各个自由度的加速度、最大速度以及运动的起止位置进行设置。

当按下仿真按钮后，程序将会读入相应的参数，然后开启一个线程，并在此线程内设置一个while循环，在循环体内不断计算线程的运行时间。通过此时间分别计算出α，β和竖直方向的运动量Height，并对运动平台进行更新，用户可将运动平台当前的各状态值保存于Excel中。

在主窗口区可以观察到机构的实时运动情况，电动缸的实时状态量也会显示在屏幕左下方，仿真结束后可绘制出各个电动缸的运动轨迹图，如图4所示。

图4 运动轨迹

2.5 机构正解分析

如图1所示。建立与逆解相同的坐标系，设各电动缸销轴副的安装位置分别为A1，A2，A3，各电动缸长度分别为PA1，PA2和PA3，求此时P1，P2和P3的坐标。根据相应的约束条件可列出约束方程［8］，将其整理后可得方程组:

此为一个非线性方程组，可采用牛顿迭代法［9］进行求解，则其Jacobi矩阵为:

设x＝［xp1，yp1，yp2，yp3，zp2］T，则由牛顿迭代公式x（k＋1）＝x（k）－（Df（x（k）））－1f（x（k）），通过一定次数的迭代计算，可得到满足给定要求的结果。

用户可在参数面板中设置各电动缸的长度、迭代初值以及迭代次数，若满足各约束条件，则能求出在相应电动缸长度下运动各点的坐标值，实现对逆解法的验证。

3 运动控制设计

3.1 MPC2810运动控制卡

3－RPS运动平台的控制实际上是对3个电动缸相应电机的控制。电机的控制方法主要有2类:通过PLC控制和通过运动控制卡控制。为使运动控制程序能够与PC电脑进行有效的通信，并集成于其他的PC虚拟软件中，采用乐创MPC2810运动控制卡来进行电机运动控制。

MPC2810运动控制卡可提供常速运动模式、梯形运动模式和S形曲线运动模式等，但其大多数运动模式都要求在运动控制前有明确的运动轨迹，且脉冲发送加速度在发送过程中通常是无法改变的。而在虚拟仿真环境中，具有许多随机因素，无法在控制前确定运动轨迹。由图4各电动缸的运动轨迹图也可看出，各电动缸的运动轨迹是曲线，运动的加速度是随时变化的，各电动缸的运动也并非是独立的。在MPC2810运动控制卡的各种运动模式中，也无法找到一种适合的运动模式来进行控制。

3.2 以直代曲运动控制思想

在图4中的运动轨迹曲线中，若在时间轴上取一时间微段Δt，则其运动轨迹曲线可看成由许多直线组成的，此直线运动过程恰好可以用常速运动模式来进行控制。经测试，MPC2810在1s内大概可有效发送20条运动控制指命，则Δt可取0.05s，在此时间内，将电动缸的运动轨迹看作是以常速做直线运动。在每段运动开始时，可用仿真系统的方法计算出Δt，各电动缸所需要的位移量Δs，则可得运动平均速度为:

然后以此为参数，调用MPC2810常速运动模式的相关函数，如下所述。

设置某轴常速度为v，即

启动某轴常速运动，行程为Δs，即

上面各函数相应的参数可根据实际情况换算为脉冲单位，如此反复，便可完成所有要求运动轨迹。

3.3 误差分析

在3.2节的运动控制方法中，直线运动的起始位置和终止位置都不存在位移误差，误差主要存在于运动过程中，以直代曲的位移偏差在直线运动结束时便会消除，并不会累积。现取第3部分中的一段仿真数据进行误差分析，如表1所示。

表1 仿真数据

从表1和整个仿真数据可以发现，各个电动缸在各种正常的运动过程中，在0.05s内的位移量都没有超过1mm。根据曲线的单调性可知，除了在波峰或波谷处，以直代曲的方式所产生的误差都不会大于1mm，而这种误差完全可以由机构的安装间隙所消除。

综上所述，可采用如下方法提高机构控制精度:采用高性能运动控制卡，提高每秒有效指令发送个数；尽量避免或减少运动轨迹出现波峰或波谷，使运动轨迹为单调曲线；采用高性能、高精度的电动缸，减少电机的漏步现象。

4 结束语

仿真系统在对3－RPS机构进行正逆解的基础上，对其进行了三维动态参数化仿真，不仅形象生动地展示了运动平台在各种运动情况下运动状态，而且还确保了机构运动学逆解的正确性，保证了运动控制程序算法的正确性，因为所有算法都由C＋＋实现，所以可直接运用于运动控制程序中。在仿真过程中，大量运用坐标系变换的思想，简化了Open－GL的绘制流程。最后根据仿真系统所提供的仿真结果，依据MPC2810运动控制卡，提出了以直代曲的运动控制思想。

［1］孙 涛，赵东标，李晓庆.基于Open Inventor的六自由度钻铣机加工仿真研究［J］.机械与电子，2012，（3）:35－40.

［2］黎 华，肖 伟.几种三维模型文件在OpenGL中的输入与处理［J］.物探化探计算技术，2007，29（1）:83－86.

［3］王旭永，王显正，张 颖，等.三自由度并联驱动平台机构的位置逆解及其分析［J］.上海交通大学学报，1998，32（1）:102－104.

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［5］Hearn D D，Baker M P.Computer graphics with Open－GL［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2006.

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