模糊数的梯形逼近

陆汉川，李生刚

陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062

模糊数的梯形逼近

陆汉川，李生刚

陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062

1965年，为了从数学上处理带有模糊性的不确定现象，Zadeh[1]引入了模糊集合的概念。迄今为止，关于模糊集理论和应用的科学研究已有成千上万，从中可以看出模糊集理论能让人们更有效地处理不精确的信息。模糊数在其中扮演了一个重要的角色，因为不确定性和不完整的信息经常可以用模糊数（包括区间数）来表示。一个有趣的问题是怎样利用一个梯形的或三角的模糊数去逼近一般的模糊数，这方面的研究引起了许多学者的兴趣和关注[2-13]。在文献[2]提出了推广的梯形模糊数并给出了保持期望不变的梯形逼近的计算公式。本文在文献[2]的基础上推广了梯形模糊数的一些性质，得到了更具体、更直观的计算梯形逼近方法。此外，文中讨论的模糊数逼近都是具有保持期望区间不变性的。

1 预备知识

下面是本文涉及到的一些定义。

类似于经典的算术，可以对模糊数进行加、减、乘、除运算。然而，由于模糊数的边不是很规则，导致了这些运算将变得很复杂。所以，更希望在实际中能够利用具有线性的或分段线性边的模糊数，因为这些模糊数的隶属函数是很简单的，同时还有着更多合理的阐述。经常使用的模糊数是梯形模糊数，它们的两边是线性的且隶属函数，有着下面的形式：

定义1.2[6]一个推广的梯形模糊数A=[AL(α)，AU(α)]是一个次数小于或等于1（即degAL(α)≤1，degAU(α)≤1）的多项式函数有序对，记为Te(A)=(te1，te2，te3，te4)。A是一个推广的三角形的模糊数当且仅当AL(1)=AU(1)，记为Ts(A)= (ts1，ts2，ts3，ts4)。两个推广的梯形模糊数A=[AL(α)，AU(α)]，B=[BL(α)，BU(α)]之间的距离d(A，B)类似于（1）定义。

定义1.3[6]一个模糊数A的推广的梯形逼近Te=[t1+(t2-t1)α，t4-(t4-t3)α]定义为最小距离d(A，B)的推广的梯形模糊数，这里B是一个推广的梯形模糊数且保持期望区间不变。

众所周知，一个模糊数A的推广的梯形逼近Te(A)可能导致的不是一个模糊数[7-8]。最近的梯形逼近记为Tn(A)，它被看做保持一个模糊数A的期望区间EI(Tn(A))=EI(A)的最小距离d(A，B)的梯形模糊数。文献[2]证明了t1、t2、t3、t4的值如下：

2 主要结果

3 结束语

目前，模糊数已被广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等各个领域（实际上凡是涉及到模糊性的数量时都可以考虑用模糊数）。利用一个梯形的或三角的模糊数去逼近一般的模糊数引起了众多学者的关注。本文推广了梯形模糊数的一些性质，得到了更具体、更直观的计算梯形逼近的方法。今后的研究中，还可以尝试将[0，1]换成一般的取值格（如完全分配格），以便适用范围更广、更有代表性（涉及积分的地方可使用sugeno积分进行尝试）。

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8：338-353.

[2]Grzegorzewski P，Mrówka E.Trapezoidal approximations of fuzzy numbers[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，153：115-135.

[3]Grzegorzewski P.Metrics and orders in space of fuzzy numbers[J].Fuzzy Sets and Systems，1998，97：83-94.

[4]Dubois D，Prade H.The mean value of a fuzzy number[J]. Fuzzy Sets and Systems，1987，24：279-300.

[5]Heilpern S.The expected value of a fuzzy number[J].Fuzzy Sets and Systems，1992，47：81-86.

[6]Yeh C T.Trapezoidal and triangular approximations preserving the expected interval[J].Fuzzy Sets and Systems，2008，159：1345-1353.

[7]Allahviranloo T，Firozja M A.Note on“trapezoidal approximation of fuzzy numbers”[J].Fuzzy Sets and Systems，2007，158：755-756.

[8]Dubois D，Prade H.Operations on fuzzy number[J].International Journal of Systems Science，1978，9：613-626.

[9]Yeh C T.A note on trapezoidal approximations of fuzzy numbers[J].Fuzzy Sets and Systems，2007，158：747-754.

[10]Grzegorzewski P，Mrowka E.Trapezoidal approximations of fuzzy numbers-revisited[J].Fuzzy Sets and Systems，2007，158：757-768.

[11]Ban A I.Approximation of fuzzy numbers by trapezoidal fuzzy numbers preserving the expected interval[J].Fuzzy Sets and Systems，2008，159：1327-1344.

[12]Grzegorzewski P.Trapezoidal approximations of fuzzy numbers preserving the expected interval-algorithms and properties[J]. Fuzzy Sets and Systems，2008，159：1354-1364.

[13]Abbasbandy S，Hajjari T.Weighted trapezoidal approximation preserving cores of a fuzzy numbers[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59：3066-3077.

LU Hanchuan,LI Shenggang

College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

This paper introduces the extended trapezoidal fuzzy number,and proves some properties of it.By using the extended trapezoidal fuzzy number to approximate any given fuzzy number,it is pointed that there are four cases on trapezoidal approximation,and a more detailed and more intuitive method to compute trapezoidal approximation and related examples are given.

fuzzy number;expected interval;the nearest trapezoidal approximation;extended trapezoidal fuzzy number

介绍了推广的梯形模糊数并证明了它的一些性质。利用推广的梯形模糊数逼近任意给定的一个模糊数，指出梯形逼近共有四种情形，给出了更具体、更直观的计算最近的梯形逼近的方法和例子。

模糊数；期望区间；最近的梯形逼近；推广的梯形模糊数

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0097

LU Hanchuan,LI Shenggang.Trapezoidal approximations of fuzzy numbers.Computer Engineering and Applications, 2013,49（19）：16-19.

国家自然科学基金（No.11071151）；陕西省自然科学基金（No.2010JM1005）；陕西师范大学2012年研究生教育教学改革研究项目。

陆汉川（1977—），男，博士研究生，主要研究领域为格上拓扑学及拟阵论；李生刚（1959—），男，博士，教授，博士生导师，主要研究领域为格上拓扑学及拟阵论。E-mail：luhanchuan2004@163.com

2013-04-08

2013-06-03

1002-8331（2013）19-0016-04

CNKI出版日期：2013-06-18http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130618.1559.005.html