利用换元法证明三角形不等式

☉湖北省大冶一中 胡晓臻 刘先进

涉及三角形的不等式有很多，许多笔者对它的研究也很透彻，本文借几道竞赛题来谈谈换元法在三角形不等式证明中的应用.

设a，b，c是△ABC的三边，证明相关不等式的过程中常作这样的一个代换：a=y+z，b=z+x，c=x+y，这里x、y、z是有具体意义的，如图所示，一圆内切于△ABC，切点为D、E、F，不妨设AE=AD=x，BD=BF=y，CF=CE=z，作这样的代换后的结论有：

下面以几道竞赛题来说明此法的应用.

例1（费-哈不等式）在△ABC中，求证：

a2+b2+c2≥4S+（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2.

解析：令c=x+y，a=y+z，b=z+x，x、y、z均为正数.

原不等式即为：

此式由均值不等式易证.

例2（第26届IMO的加强）△ABC中，求证：

解析：设a=y+z，b=z+x，c=x+y，x、y、z都是正数.

此式易证.

例3证明欧拉不等式：

三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，求证：

R≥2r.

解析：设三角形的三边长为a、b、c，令a=y+z，b=z+x，c=x+y.

即证.

运用上述换元法，我们可以看出，将三角不等式等价转化成对称性很好的不等式，就可以利用基本不等式来进行证明了.

换元法不仅适用于竞赛中的三角不等式，对一些平时常见的三角形不等式仍然适用.下面提供一些常见的不等式，均可以采用本文的方法进行证明.

1.设a、b、c为△ABC的三边，求证：

abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

2.设a、b、c为△ABC的三边，求证：

a（2b+c-a）+b（2c+a-b）+c（2a+b-c）≤3abc.

3.设a、b、c为△ABC的三边，求证：

4.△ABC中，若a+b+c=1，求证：