一个新的五维Chen系统的错位反馈控制

刘芳芳，赵小山

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

1999年Chen等[1]采用线性反馈方法控制Lorenz系统时发现了著名的Chen系统[2]，它与Lorenz系统类似，但比Lorenz系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为[3-4]，这使得Chen系统很难控制。目前对该系统的控制已有不少有效的控制方法，例如：识别控制、拟最优控制、模糊控制、数字控制、滑模控制、自适应控制等[5]，但大都局限于较低维系统[5-7]。文献[8]针对Lorenz系统提出了一种新的反馈控制方法，即错位反馈控制法。本文基于文献[8]的思想，应用部分错位反馈控制与全错位反馈控制方法对一个五维Chen系统进行控制，并用Matlab数值仿真验证了这2种控制方法的有效性。

1 一个基于Chen吸引子的五维混沌系统

通过用状态反馈法，在三维自治Chen系统中增加2个状态反馈控制器，这样就得到了一个五维的混沌Chen系统[9]：

式中：x、y、z均为状态变量；a、b、c均为正实数，分别等于35、12、3；w、v表示增加的状态变量；d=0.1和e=4为控制增益，系统非线性项均为二次。通过求解可知，点O（0，0，0，0，0）是系统的一个平衡点，且是一个不稳定的鞍点，因为在O点处的线性化系统后所得Jacobi矩阵为：

显然，矩阵J0的特征值为-35，12，-3，-0.1，-4。可以看出第二个特征值为正数，所以平衡点O是一个不稳定的鞍点。可以进一步运用Fortran软件计算系统的Lyapunov指数：λ1=0.30283，λ2=-0.06843，λ3=-0.068970，λ4=-4.035782，λ5=-25.954088，其中有一个正的Lyapunov指数，故系统是混沌的。图1为系统（1）的混沌吸引子图；图2为系统（1）的时间历程图，从图中也可以看出系统在做混沌运动。

图1 未受控系统的混沌吸引子图

图2 未受控系统的时间历程图

2 错位反馈控制

2.1 错位反馈控制方法简介

首先给出错位反馈控制法的定义如下：

注：在定义1中若所加控制器ui=kixj中i=j，即为一般的反馈控制方法。

2.2 全错位反馈控制的实现

现在运用上述错位反馈控制法对系统（1）进行控制。可以选取错位控制器u1=-k1v，u2=-k2x，u3=-k3y，u4=-k4z，u5=-k5w，则系统（1）的受控形式为

此时受控系统（3）线性化后的Jacobi矩阵为：

而判断特征值是否有负的实部，可以用Routh-Hurwitz判据[10]，即n维非线性系统（i=1，2，…，n）在定点x0的导算子D（fx0）的所有特征值都有负实部的充分必要条件是所有行列式

根据上述稳定性定理和Routh-Hurwitz判据，系统在定点O（0，0，0，0，0）趋于稳定需要满足以下条件：

通过解以上5个不等式即可得出受控系统达到稳定时增益系数的取值范围。

情况1：在k1=k2=k3=k4=0；k5≠0；k1=k2=k3=k5=0；k4≠0；k1=k2=k4=k5=0，k3≠0；k2=k3=k4=k5=0，k1≠0的这几种情况下，找不到合适的反馈增益系数满足Routh-Hurwitz判据。故受控系统（3）在O（0，0，0，0，0）是不稳定的。由Routh-Hurwitz判据可知，当k2≠0，k1=k3=k4=k5=0时，只要取k2＞11.94，受控系统（3）在O点处就是稳定的。

情况2：当k1=k5=0，而k2k3k4≠0，根据Routh-Hurwitz判据只需要满足：k2＞11.94且k3k4＜63.64481104×时，受控系统在点O处是稳定的。

情况3：当k1、k2、k3、k4、k5都不为零时，只要满足条件：k2＞11.94且Δ4＞0，k3k4＞（504-42k2）/（42k2+35k5+k1k2k5）时，受控系统（4）在点O处是稳定的。

可见，情况1和2即为运用部分错位反馈控制器时控制增益系数的选取范围；情况3为对系统施加全错位反馈控制器时使得系统达到稳定的增益系数取值条件。选取其他情形的错位控制器的情况与上述类似。

3 数值模拟

为了验证上述控制方法的有效性，运用Matlab软件对上一节的理论分析做数值模拟。图3～图5是在不同控制增益下受控系统的时间历程图和平面吸引子相图。图3（a）是k2=12.6，其余控制系数为时受控系统的时间历程图，可以看到，在t=30.3 s时系统稳定于点O；图4（a）是选择3个控制器时（k2=12.6，k3=5，k4=2）受控系统的时间历程图，此时系统在时趋于稳定而不再做混沌运动；图5（a）是所加控制器系数k1=-5，k2=12.6，k3=5，k4=2，k5=0.9时系统的时间历程图，从图中可知t=0.9 s时系统就收敛于到点O，与前2种部分错位反馈控制情况相比较效果有了明显的改进。

图3 k2=12.6时受控系统时间历程图和平面相图

图4 k2=12.6，k3=5，k4=2时受控系统时间历程图和平面相图

图5 k1=-5，k2=12.6，k3=5，k4=2，k5=0.9时受控系统时间历程图和平面相图

4 结束语

本文用错位线性反馈控制器较好地实现了对Chen系统（2）的稳定控制，通过Matlab数值模拟可以看出，错位反馈控制比一般的自适应反馈控制[5]的控制效果更加明显；而且通过增加控制器的个数可以使五维混沌Chen系统更好更快地趋于稳定，即全错位反馈控制的控制效果比部分错位反馈控制的效果更明显。全错位反馈控制方法简单，且收敛速度快，因此在实际工程中更易于应用。

[1]CHEN G，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].Int J of Bifurcation and Chaos，1999（9）：1465-1466.

[2]UETA T，CHEN G.Bifurcation analysis of Chen′s equation[J].Int J of Bifurcation and Chaos，2000（10）：1917-1931.

[3]陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社，2003.

[4]李瑞红，徐伟，李爽.一类新混沌系统的线性状态反馈控制[J].物理学报，2006，55（2）：598-604.

[5]彭建奎，俞建宁.Chen系统的混沌控制研究[J].成都大学学报:自然科学版，2008，27（2）：120-122.

[6]章婷芳，姚洪兴.Chen混沌系统的反馈控制方法与分析[J].系统工程理论与实践，2005（8）：97-102.

[7]李春来，禹思敏，罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现[J].物理学报，2012，11（61）：201-210.

[8]陶朝海，陆君安.Lorenz混沌系统的错位自适应控制[J].系统工程与电子技术，2004，26（1）:81-82.

[9]黄露，唐驾时.五维混沌Chen系统的电路实现及其控制方法分析[J].海南师范大学学报:自然科学版，2011，24（3）：283-287.

[10]刘秉正，彭建华.非线性动力学[M].北京：高等教育出版社，2007.