任意数列一般项公式的证明与应用

徐望斌，余盛利

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

对数列一般项的研究是认识数列的基本方法。《初等代数研究》(下册)给出了任意数列一般项公式，并用数学归纳法进行了证明。这种证明方法并未揭示该公式的本质，因而不利于学生的理解和掌握。为此，本文给出任意数列一般项公式的另一种证明，并用此公式证明了k阶等差数列前n项和公式。

本文的基础概念是数列的差分，对任意数列{un}，数列的一阶差分△u1=u2-u1，k阶差分△ku1=△(△k-1u1) ，k,n为正整数。并有基本结论：

(1)

1 定理及其证明

定理1 对任意数列{un}，都有

(2)

证明 根据(1) 式变形(2) 式右边

(3)

(3)式子中的uk(1≤k

(4)

……………………………………………………=

(4)变形为

2 定理的应用

证明 {an} 的前n项和Sn构成数列{Sn} ，由定理1知

(5)

s1=a1,△s1=s2-s1=a2,△2s1=△a2,…,△n-1s1=△n-2a2

∵{an} 是m阶等差数列， ∴△m+1a2=△m+2a2=…=△n-2a2=0.

(5) 变形为

(6)

对(6) 式右边的每一项逐次进行添项、减项、合并变形：

…………………………………………………………

参考文献:

[1]余元希，田万海.初等代数研究(下册)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]刘纯刚，许丽利.关于 k阶等差数列通项 an及前n 项和Sn的讨论[J].鸡西大学学报,2004,4(6):39～40.