一个半离散非单调核逆向的Hilbert型不等式

陈 强，杨必成

(1.广东第二师范学院计算机科学系，广东广州510303;2.广东第二师范学院数学系，广东广州510303)

其中，常数因子π 仍为最佳值.式(1)与式(2)是分析学的重要不等式［1-2］，有不少推广应用［3-8］. 关于半离散、非齐次核的Hilbert 型不等式，其零星结果可见文献［1］、［9］. 关于半离散、齐次且单调核逆向的Hilbert 不等式，见文献［10］的具有最佳常数因子的工作:

本文应用权系数的方法，建立一个半离散、非单调核逆向的Hilbert 型不等式:设θ1(x)=O(1/x1/2)则有

其中，常数因子8 为最佳值.还考虑了它的引入多参数的最佳推广式与等价式.

1 引理

若f(y)在(0，∞)连续且按段光滑，ρ(y)=y -［y］-1/2 为1 阶Bernoulli 函数，则有

证明 我们有

式(7)成立.证毕.

注1 由式(7)，对1≤n=［x］≤x，当n≥2 时，有

故有

则有θ(x)＞0，θ(x)=O1(1/xλ/r)(x≥1).

证明 (a)令u=y/x，有

定义函数g(y)，h(y)如下:

则-f'y(x，y)=g(y)-h(y).设a =(1 -λ)/x2+λ/r，b=(-1 -λ)/x2+λ/r，则a-b=2/x2+λ/r.定义

则因g1(x-0)-a =g2(x)，h1(x -0)-a =h2(x)，故与(y［1，∞))递减连续，且有由式(6)、(8)，有ε1［0，1］，εi(0，1)(i=2，3)，使

因g1(1)-a≥g1(x -0)-a =g2(x)＞0，h1(1)-b≥h1(x-0)-b=h2(x)＞0，故由式(10)有

化简可得

故θ(x)＞x-λ/rρλ(x)＞0 (x≥1).

(b)在式(10)中，我们还有如下逆向不等式及相关结果:故θ(x)=O1(1/xλ/r)(x≥1).证毕.

引理3 在引理1 的条件下，定义如下权函数及权系数:

则有

证明 作变换t=x/n，有

再由式(5)及引理1，有

故式(13)成立.证毕.

证明 由带权逆向的Hölder 不等式［11］及式(11)～(13)，有

故式(15)成立. 由逆向的Hölder 不等式［11］及式(11)～(13)，注意到q ＜0，又有

故式(16)成立.证毕.

2 结果

则有如下等价式:

证明 由L 逐项积分定理［12］，式(19)中Ⅰ有2种表示.由条件，式(17)不取等号，故有式(20). 由逆向的Hölder 不等式，有

由式(20)，有式(19). 反之，设式(19)成立. 取则由式(19)，有

由式(17)及条件，知J1＞0.若J1=∞，则式(20)自然成立;若J1＜∞，则应用式(19)的条件都具备，式(23)取严格不等号，且在式(23)中两边除以J1/q1，有

故式(20)成立，且与式(19)等价.

由条件，式(18)取严格不等号，故有式(21).配方并由逆向的Hölder 不等式，有

由式(18)及条件，知J2＜∞.若J2=0，则式(21)自然成立;若J2＞0，则应用式(19)的条件都具备，式(25)取严格不等号，且有

两边q(＜0)次方，故式(21)成立，且与式(19)等价.故式(19)、(20)与式(21)齐等价.

由式(26)、(27)，有

故有kλ≥k (ε→0+). 因而k =kλ为式(19)的最佳值.式(20)(式(21))的常数因子必为最佳值，不然，由式(22)(式(24))，必导出式(19)的常数因子也不为最佳值的矛盾.证毕.

评注 (a)当r =s =2，λ =1 时，式(19)变为式(4);式(20)、(21)变为如下与式(4)等价的具有最佳常数因子的半离散非单调-1 齐次核的Hilbert 型不等式:

(b)能否把式(19)～(21)的积分区间拓展为(0，∞)，这是一个待解决的公开问题.

［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. Inequalities［M］. Cambridge:Cambridge University Press，1952.

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［10］杨必成.一个半离散的Hilbert 不等式［M］.广东第二师范学院学报，2011，31(3):1 -7.

［11］匡继昌. 常用不等式［M］. 济南:山东科技出版社，2004.

［12］匡继昌. 实分析引论［M］. 长沙:湖南教育出版社，1996.