大射电望远镜巨型柔性并联机构悬索分析及简化*

黄 亮，朱文白，唐晓强

(1. 中国科学院国家天文台，北京 100012；2. 清华大学精密仪器与机械学系，北京 100084)

20世纪90年代，中国科学家提出利用贵州天然的喀斯特洼地，建造目前世界上最大的单口径射电望远镜——500 m口径球面天文望远镜(Five-hundred-meter Aperture Spherical Telescope, FAST)[1]。FAST包括馈源支撑、主动反射面、馈源与接收机等6个子系统。其中馈源支撑系统由6个固定铁塔、6根钢索和馈源平台(舱体包括馈源舱、AB轴、Stewart平台)组成[2]，可视为一个巨型柔性并联机构。钢索的一端固定于馈源舱体的铰接点上，另一端通过铁塔顶端的定滑轮与电机相连。天文观测时，6台电机协调改变6根钢索的长度，拖动馈源平台在反射面之上高约140 m、直径约200 m的球冠上运动。此时，钢索的跨度已经很大，它在空间的曲线形状不能简化为直线，而呈悬链线状[3]。

图1 FAST示意图

Fig.1 Illustration of the FAST

近代以来，随着悬索结构在桥梁、建筑等方面的应用，许多学者都在悬链线的解析法、有限元法分析中做过大量有益的尝试。由于悬链线的解析解为超越函数，在分析和计算时给人们带来不便，人们进而提出许多简化方法，其中尤以抛物线理论最为著名。抛物线是简单的二次函数，这大大简化了对悬索的分析和计算，在FAST模型实验中获得较好的应用[4]。

在FAST馈源支撑系统中，铰接点和高塔出索点相当于钢索的两个支点。在两个支点之间，钢索上仅受重力作用，没有其他载荷。由于人们主要关注钢索在两个支点处的受力情况，因此作者由悬链线解析解入手，从索力、索长表达式出发，提出赝曲线模型，对悬链线模型进行简化。

1 无荷悬索的悬链线

对于位于均匀重力场的悬索，做出如下假设[5]：(1)悬索只受拉力，不能受压或受弯；(2)忽略悬索的局部弯折；(3)悬索工作在弹性阶段。

对FAST系统，以一根钢索为分析对象，记钢索与馈源舱的铰接点为B，钢索与高塔定滑轮出索点为A。钢索除在A、B两支点受到支反力外，还要受自身重力作用，单位长度的钢索所受重力为q，其受力情况如图2。h和l分别为A、B两点之间的竖直和水平距离，σ为TB与水平面的夹角。

取钢索上的一段线元ds，如图3。

图2 钢索的受力分析

图3 钢索上的一段线元

由力平衡条件可得[6]：

(1)

整理可得：

(2)

(2)式即为钢索的微分方程式。又有(ds)2=(dx)2+(dz)2，则(2)式可写为：

(3)

(4)

将边界条件

(5)

代入上式，可得：

(6)

(4)式、(6)式就是精确的悬链线表达式，该模型称为悬链线模型，它真实地反映了悬索的重力特性。悬链线表达式是一个超越函数，它将钢索的位形与钢索的索力联系起来，钢索的几何特征与它的受力特征密切相关。由(4)式、(6)式可得索长L：

(7)

整理得：

(8)

(8)式中的shλ/λ即反映了钢索由于垂度而产生的弯曲。

对A点列出力矩平衡方程，可得到VB。记：

则钢索的拉力为：

(9)

(10)

由(4)式、(6)式可以得到悬链线的垂度f表达式：

(11)

对(11)式求导，并令其等于0，可得取最大垂度点的横坐标：

(12)

将(4)式、(6)式中C2代入上式并整理可得：

(13)

2 悬链线的抛物线简化

由于(3)式的右侧实际上是无穷级数的形式，考虑到应用的便利性，人们往往将(2)式的右侧近似为一个常数，从而得到悬链线模型的简化模型——抛物线模型。对(2)式的右侧取不同的常数，便得到不同的近似模型。

(14)

对(14)式两边积分，并应用边界条件(5)，可得：

(15)

将λ=ql/2H代入(15)式，可得：

(16)

(13)式、(16)式就是仅受重力作用下钢索的抛物线形式的解析表达式，该模型称为抛物线模型。

对(16)式在A点求导数，可得到VB：

(17)

HB、VA、HA的表达式分别与(9)、(10)式对应项相同。比较(9)和(17)式可以看出，应用(15)式、(16)式所描述的抛物线表达式，部分地考虑了钢索自重的影响。

在XC轴中点处，即

(18)

处抛物线函数取得垂度最大值：

(19)

将(19)式代入(15)式，可以得到用垂度最大值表示的抛物线表达式[4]：

(20)

根据(20)式并应用泰勒展开保留前两项，可得钢索的长度L：

(21)

3 悬链线的赝曲线简化

在悬链线模型中，索长和索力的表达式都是超越函数，有赖于对λ的求解结果。在λ较小的情形下考虑当

(22)

(23)

时，(8)式简化为：

(24)

(9)式中的VB简化为：

(25)

对比(9)、(17)和(25) 3式可见，赝曲线模型与抛物线模型一样，考虑了绳索自重的力矩作用，但没有考虑由于悬连线而导致的重心位置的改变。对比(8)式和(24)式，赝曲线模型实际上将悬链线模型中的sh2λ/λ2项忽略，钢索的长度计算退化为直线情形。因此称这种模型为赝曲线模型，如图4。

(26)

将(8)式代入(26)式，并应用泰勒展开只保留第1项整理得

图4 赝曲线模型

Fig.4 Illustration of the Pseudo-Curve model

容易证明，当λ>0时，函数x=shλ/λ>1，则2(h/l)2+x2>1，因此

|σ1|<Δx(2+Δx)

若取Δx(2+Δx)<10%，则|σ1|必然小于10%。即当λ∈(0, 0.538)时，由于式的近似而引入到钢索长度的相对误差|σ1|一定小于10%。

(27)

定义相对误差：

(28)

图5展示了不同k值情形下，σ2随λ的变化情况。表1为k取不同值时，满足|σ2|=10%的λ值，记为λC。

图5σ2随λ的变化情况

Fig.5 Relative errors at different values ofk

在应用中，人们往往难以获得比较精确的索力，因此可以适当增大σ2的允许上限，这时λ的上限值也会随着增加。一般地，当λ<0.538时，可以应用赝曲线模型估算索长，再利用解算出的VB来校验模型的准确性。

赝曲线模型没有给出钢索的解析表达式，而是关注于钢索的索长与B点的支反力。在巨型柔性连接的并联机构的建模中，因柔索悬链线方程带来非线性，且索长、索力等参数事先均未知。在一定条件下引入赝曲线模型后，将非线性方程组简化成线性方程组，保证解算精度的同时提高了解算效率。

表1k取不同值时的λC和σ1的最大值

Table1ValuesofλCandthemaximaofσ1atdifferentkvalues

kλCmax(σ1)/%1.000.4386.561.410.3905.171.730.3584.352.000.3343.772.240.3163.37

4 赝曲线模型与抛物线模型的关系

对比(13)和(18)式，抛物线表达式将钢索垂度的最大值取在了x0=l/2处。当λ满足(22)式时，(13)式蜕化为(18)式。若已知抛物线垂度最大值为f0和(5)式所示边界条件，则可得到(20)式所示抛物线表达式。这实际上是对双曲正弦函数shλ做泰勒展开，并只保留第1项的结果。

如果将抛物线的最大垂度取为(19)式，则可以由(20)式得到(15)式、(16)式。对比(17)式和(9)式，当λ满足(23)式时，(9)式蜕化为(17)式。

这说明抛物线模型中实际上暗含了(22)式所示条件，将这个条件应用于(8)式，即得出的赝曲线模型的结论(24)。如果抛物线模型中还满足(19)式，则该抛物线模型暗含了(23)式，将其应用于(9)式，即可得出赝曲线模型的结论(25)。

5 数值算例

以巨型柔性连接的并联单三角机构为例，其结构如图6。该机构的上平台为静平台，下平台为动平台。6台电机协调动作，牵引6根钢索改变长度，实现下平台的运动，并达到一定的位姿要求。建立如图6所示静坐标系C1[X-Y-Z]和动坐标系C2[XW-YW-ZW]。

当下平台处在静平衡状态时，6根钢索对下平台的驱动力F=[F1F2…F6]T与下平台载荷[GM(G)]T间的关系为[7]：

图6 巨型柔性连接的并联单三角机构

Fig.6 Illustration of a large 6-SPS

(29)

在方程(29)中，各已知参数和输入量见表2，需要求解未知参数F。要获得切线方向，就需要知道悬链线参数λi的信息，进而需要知道Hi。这样由于悬链线超越函数的引入，方程(29)的左边就成为一个关于F的非线性表达式，求解方程(29)便需要使用迭代法。为了避免使用迭代法，使用赝曲线模型代替悬链线模型，这样便可以获得简洁的索长和索力表达式，方程(29)作为线性方程组，求解相对简便。

表2 已知参数和输入量

表3展示了使用赝曲线模型和悬链线模型的求解结果。从表中悬链线模型得出的λ可以计算λchλ/shλ的均值为1.018，shλ/λ的均值为1.009，符合假设条件(22)、(23)。从表3可见，赝曲线模型得到的结果满足模型简化的要求。更为重要的是，由于引入赝曲线模型，解方程组(29)时只需解一次线性方程组，而无需使用迭代法求解多次线性方程组，从而大大节省解算时间，提高解算效率。

表3 悬链线模型与赝曲线模型的求解结果比较

6 结 论

(1)赝曲线模型主要关注钢索的长度和支点索力，当λ<0.538时，悬链线模型可以简化为赝曲线模型。在使用赝曲线模型计算完毕后，可以利用得到的λ考察是否满足(22)式、(23)式。

(2)抛物线模型可以推出赝曲线模型的结论(24)。如果将(2)式的ds/dx取为L/l，则这种抛物线模型可以得出赝曲线模型的结论(25)。

(3)由于赝曲线模型给出了钢索长度和支点索力较为简洁的表达式，因此在巨型柔性并联机构等方面在保证求解精度的同时，可以较好地提高求解效率。

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