谈计算麦克劳林公式的间接法

2014-01-16 06:49赵伟舟李应岐
商丘职业技术学院学报 2014年5期
关键词:展开式高等教育出版社同济大学

张 辉,赵伟舟,敬 斌,李应岐

(第二炮兵工程大学 理学院, 陕西 西安 710025)

由函数的性质可得,这样代换得到的等式(1)是成立的.但等式(1)是否就为ex2的麦克劳林公式呢?事实上,回答是肯定的,这就是所谓的间接法,而此方法现行教材往往并没有给出理论证明.本文基于泰勒定理和高阶导数理论,给出了计算两类复合函数的麦克劳林公式的间接法,得到了一般性的结论,让初学者灵活使用,达到事半功倍、举一反三的效果.

1 预备知识

定理1[2]22-24若y=f(u),u=φ(x),其中f,φ具有n阶导数,则

2 间接法

情形一:u=φ(x)=bx,b≠0.

若u=φ(x)=bx,则y=f(bx),且有

因此,复合函数y=f(bx)的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为

我们知道,函数y=f(x)的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为

因此,y=f(bx)的麦克劳林公式(2)可由将函数y=f(x)的麦克劳林公式(3)中的x换成bx得到.

情形二:u=φ(x)=bxm,b≠0,m>1,m∈Z+.

=[b33m(3m-1)(3m-2)x3(m-1)]|x=0=0.

P2m,3(0)=…=P2m,m(0)=P2m,m+1(0)=…=P2m,2m(0)=0,

P(p+1)m,p+2(0)=P(p+1)m,p+3(0)=…=P(p+1)m,(p+1)m(0)=0,

由泰勒中值定理[3]278-285可得,复合函数y=f(bxm)的带有皮亚诺型余项的(p+1)m(p≥1,p∈Z+)阶麦克劳林公式为

因此,函数y=f(bxm)的麦克劳林公式(4)可由将函数y=f(x)的麦克劳林公式(3)中的x换成bxm得到.

因此,

值得注意的是,对于一些特殊类型的函数,我们往往也可以借助于它的麦克劳林展开式[3]278-285来求解麦克劳林公式.例如,函数arctanx的麦克劳林展开式为

因此,arctanx的带有皮亚诺型余项的2n+1阶麦克劳林公式为

[1] 同济大学数学系.高等数学(上册·6版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2] 陈世哲,陈仕洲.复合函数的高阶导数公式及其应用[J].南阳师范学院学报,2010,9(12).

[3] 同济大学数学系.高等数学(下册·6版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

猜你喜欢
展开式高等教育出版社同济大学
《同济大学学报(医学版)》介绍
泰勒展开式在函数中的应用
My Views and Theories of Foreign Language Teaching
《同济大学学报(医学版)》介绍
《同济大学学报(自然科学版)》征稿启事
同济大学医学院介绍
函数Riemann和式的类Taylor级数展开式
Stylistic Features in News Report
How to Improve University Students’English Reading Ability
对一道幂级数展开式例题的思考