例析初中数学“几何直观”教学的类型

例析初中数学“几何直观”教学的类型

☉四川省南充市嘉陵区教育科学研究室 蒲大勇

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，几何直观可以帮助学生直观地理解数学.”由此我们可以看出：“几何直观是利用实物或图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点.”心理学研究表明，初中阶段学生的思维发展处于以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维为主的过渡时期.所以，在初中阶段，我们要继续利用实物或图形“具体形象”的特征，探究其本身各种量之间的关系，借助其“具体形象”的特征来理解与图形之中蕴含的某种数量关系相当的、运用“抽象符号”表示的、图形之外的数量之间的运算关系，进一步启发和培养学生的抽象逻辑思维能力.那么，初中数学“几何直观”教学有哪些类型？我们认为，初中数学“几何直观”教学按照直观的目的可划分为直观验证型、直观理解型、直观探索型、直观建构型、直观拓展型和直观简约型六种类型.

一、直观验证型

直观验证型是通过动手操作、实验检测等方式验证已得结论或猜想的正确性，从而在直观操作的基础上获得数学知识的理解的一种数学教学活动.这种类型的目的是验证已知结论的正确性和合理性，一般步骤为：已知结论—构造图形—观察分析—得出结果.直观验证型的特点是：直观，思维起点低，操作简单.

案例1“完全平方公式”教学片断

师：通过上面的探究活动，我们知道完全平方公式为（a±b）2=a2±2ab+b2，你能根据公式形式，自己构造图形表示完全平方公式吗？

（小组合作探究，5分钟后）

生1（边展示边说）：构造如图1所示的正方形，这个正方形的面积为（a+b）2；而图1中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为ab，b2，a2，ab，它们的面积和为a2+2ab+b2.这里用两种方式表示了同一个图形的面积，所以它们相等，即（a+b）2=a2+2ab+b2.

图1

师：很好，生1通过构造几何图形面积验证了完全平方和公式的正确性.谁来说一说完全平方差公式？

生2：构造如图2所示的正方形，这个正方形的面积为a2；图2中Ⅲ的面积为（a-b）2；图2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为2ab-b2，用图2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积为a2-2ab+b2；这里也是用两种方式表示了同一个图形的面积，所以它们相等，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

图2

评析：这个教学片断验证完全平方公式的正确性遵循“已知结论—构造图形—分析计算—得出结果”的流程，首先，学生按照条件自己构造图形，让“数”与“形”有机融合；然后，以两种不同方式对同一图形面积进行计算；最后，由计算结果相等得到公式的正确性.在这个过程中学生经历动手操作、分析计算，直观验证了完全平方公式的正确性，从“形”上增强了对公式的理解，渗透了“数形结合”的思想方法.

二、直观理解型

直观理解型是借助实物或图形直观，以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学教学活动.这类教学借助对实物或图形进行直观的操作，深刻理解数学概念、原理等，它主要通过学生对实物或图形的“数学化”操作来实现对数学概念、原理、事实的接受和理解.一般步骤为：产生疑惑—“数学化”操作—内化理解.直观理解型的特点是：抽象的数学知识形象化，在形象感知中理解.

案例2“无理数”教学片断

师：任何一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，类似地，任何一个无理数也可以用数轴上的点来表示.

（学生对“任何一个无理数也可以用数轴上的点来表示”的理解比较困难，产生了疑惑）

师：以无理数π为例.请看多媒体演示，如图3，用直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的点O运动到O′，线段OO′的长就是这个圆的周长π，所以点O′的坐标为π.这样，无理数π就用数轴上的点表示出来了.

图3

评析：这个教学片断通过多媒体动画演示让学生感知了“在数轴上有且只有一个表示无理数π的点”，这在抽象的“数”与直观的“形”之间建立了互相表达的关系，学生在从数到形的转化中理解了无理数与数轴上的点的对应关系，由此内化了对“无理数可以在数轴上找到对应点”的认识.这样能够让学生体验到数形结合思想方法在学习数学时具有化抽象为直观、简洁易懂的作用，必定能够激起学生对数形结合思想方法的认同.

三、直观探索型

直观探索型是借助实物或图形直观，以探索未知结论为目的的数学教学活动.这类教学教师要创造、模拟、再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、发现数学结论（或假设）.直观探索型对学生智力的发展、创造能力的培养、科学方法的形成都有很大的帮助.一般步骤为：问题提出—直观探索—抽象概括—发现结论.直观探索型的特点是：具有开放性、探索性、生成性，对学生的数学素养、教师的引导方法要求较高.

案例3“正弦”概念教学片断师：如图4，斜坡的倾斜角为30°，当器材P沿斜坡OB向上搬运5米时，点P离地面的距离PH为多少？

生1：2.5米.

师：在器材P向上搬运的过程中，在点P离地面的距离PH、点P离起点O的距离OP等量中，有哪些量发生了变化？哪些量不发生变化呢？

生2：当点P运动时，线段OP、PH、OH的长度都发生了改变.

图4

生3：当点P运动时，线段OP的长度发生了改变，如果设OP=x的话，那么线段PH、OH都可以用含x的代数式表示出来.当∠AOB=30°时，PH=x，OH=.这说明线段PH、OH的长随着OP的变化而变化，它们是关于x的一次函数.

师：刚才大家找到了3个变量，那么在这个变化的过程中，有不变的量吗？

生4：∠AOB的度数不变.

生6：还有线段OH与OP的比值不变，等于.

生7：把三条线段两两组合就可以了！

生8（迫不及待地）：三条线段两两组合有3种可能，但是求比值时，还涉及分子、分母的不同，比如OP与OH组合，既可以得到线段比，也可以得到线段比，所以有6种可能.

师（很开心地）：这里确实有6对比值，现在我们不妨先选取其中的3对比值进行研究，先从线段PH与线段OP的比值开始.

图5

师：这对线段的比值与点P的位置无关，那么它与什么有关呢？

生4（再次发言）：可能与∠AOB的度数有关.比如图6，当∠AOB1=60°时，比值变为.

图6

师：想想看，能否借助图6来说明当角度变化时，比值也随之变化呢？

学生先独立思考，再讨论交流大约2分钟.

图7

生11：这对线段的比值随着角度的改变而改变，它是角度的函数.

师：为了表示的方便，把这对线段的比值用sinα表示，称之为角α的正弦.

评析：这个教学片断教师创设了一个“器材沿斜坡运动”的问题情境，借助几何图形直观“找寻运动过程中的变量和不变量”，建立了相应线段的比值；再利用几何图形直观地探索比值的相关量，进而发现比值随角度变化而变化，是角度的函数，自然地形成正弦函数的概念.这样直观形象、动态生成的过程，不仅让学生体会了正弦三角函数产生的必要性，而且理解了正弦三角函数是一个以角为自变量的函数，使学生慢慢地理解了正弦三角函数的意义和符号表示.

四、直观建构型

直观建构型是借助实物或图形直观，以建构某个数学知识或图式模型为目的的数学教学活动.这类教学是在建构直观的方程模型、图式模型等的基础上，使得学生能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象.一般步骤为：问题提出—实物演示—观察分析—建构模型.直观建构型的特点是：具有空间性、模型性、探索性.

案例4 “圆锥侧面展开图”教学片断

师（边演示模型，边启发提问）：如图8，现在老师把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学能发现这个展开图是什么图形？

生1：扇形.

师（再次演示模型）：请同学们仔细观察，并回答：

（1）扇形的弧长l与圆锥底面圆的周长是什么关系？

（2）扇形的半径其实是圆锥的什么线段？

生2（上讲台指着模型，边说边写）：扇形的弧长是底面圆的周长，即l=2πr，扇形的半径就是圆锥的母线.

师（追问）：圆锥的侧面积与扇形的面积有何关系？生3：圆锥的侧面积等于扇形的面积.

图8

侧锥底面圆的半径，l为圆锥底面圆的周长）.

评析：这个教学片断通过“圆锥实物模型”的多次演示，让学生经历了由圆锥立体模型到扇形这个平面模型的过程，在学生头脑中建构了“圆锥模型”与“扇形模型”，学生在这两个模型的“形”的转化中找到了“数”的相等关系，这又在学生大脑中建构了一个新的“数量”模型，这样让学生体验到数学的美妙，对所学知识的理解更加深刻.

五、直观拓展型

直观拓展型是借助实物或图形直观，以拓宽研究思路或拓展数学知识为目的的数学教学活动.这类教学是对已有研究方案或思路的延伸，若运用得当，可以充分调动学生已有的知识结构，拓展思维视野，发挥教师教学的创造性，给不同能力倾向的学生提供较大的选择空间，使他们获取各自发展所需要的知识、技能和能力.一般步骤为：任务引入—任务拓展—分解任务—应用拓展.直观拓展型的特点是：具有开放性、创新性、探索性.

案例5“绝对值的几何意义”教学片断

问题引入：a的几何意义是什么？

活动1：若a是一个数，探究|a-1|的几何意义.

（1）试在数轴上探究|2-1|，|-1-1|，|0-1|的几何意义.

（2）试在数轴上探究|a-1|的几何意义.

（学生合作探究、展示略）

活动2：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离为线段AB的长度.试在数轴上探究|a-b|的几何意义.

（1）如何在数轴上表示数a、b？

（2）在数轴上，点A、B有哪几种情形？

（3）你能将各种情形的AB都表示出来吗？

学生小组合作探究并展示：

①当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点（如图9），AB=OB=|b|=|a-b|；

图9

②A、B两点都不在原点，当点A、B都在原点右边时（如图10），则AB=OB-OA=|b|-|a|=|a-b|；

图10

③如图11，当点A、B都在原点左边时，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；

图11

④如图12，当点A、B在原点的两边时，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|.

图12

所以，|a-b|的几何意义是：|a-b|表示数轴上A、B两点之间的距离.

活动3：当代数式|x-1|+|x-2|取最小值时，x相应的取值范围是什么？最小值是多少？

（学生合作探究、展示略）

评析：这个教学片断采取“层层推进”的教学方式，三个探究活动在整体上是一个直观拓展型，从“数到字母”“整体到分类”“一类到多类”“初步认识到深入理解再到具体应用”；每个探究活动都是一个拓展型，活动1将一般问题的探讨分解为两个问题，问题（1）解决特殊情形下的几何意义，问题（2）拓展为对|a-1|几何意义的初步认识，渗透数形结合思想；活动2按照从特殊到一般的过程，引导学生在数轴上表示实数a、b，根据点A、B在数轴上的各种情形，将A、B两点间的距离用数a、b表示，再转化为|a-b|，培养学生推理的意识，渗透分类讨论的思想；活动3是|a-b|的几何意义的直接应用，引导学生在数轴上用点P、A、B表示数x、1、2， 则PA=|x-1|，PB=|x-2|，将问题转化为PA+PB的最小值，再利用数轴解决问题，让学生感受数形结合和分类讨论的思想.

六、直观简约型

直观简约型是用数学符号、图表、图式等直观表达数学中的数、数量关系和变化规律的数学教学活动.从学习过程上看，把数学概念、法则或公式简约化，都要经历“理解含义一选取符号或字母一确定运算一简约表达”四个环节.直观简约型的特点是：简洁、抽象、易记.

案例6“规律探索型”教学片断

问题：小玲家对面超市的大橱窗四周，安装着红、黄、绿三种颜色的霓虹灯，并且这些霓虹灯按照1盏红色灯，2盏黄色灯，3盏绿色灯的顺序循环排列，那么第15盏霓虹灯是____色.

（小组合作学习、交流、讨论，5分钟后）

小组1：用字母A表示红色霓虹灯，字母B表示黄色霓虹灯，字母C表示绿色霓虹灯，并得出如下排列模式：

小组2：用△表示红色霓虹灯，□表示黄色霓虹灯，○表示绿色霓虹灯，将15个霓虹灯全部画出如下如下：

据此推导出第15个字母，确定第15个霓虹灯的颜色.

师：对上述规律可“列除法算式”：15÷（1+2+3）=2余3，从而得出结论：第15个霓虹灯是黄色.

评析：在这个教学片断中，小组1、2都用直观简约的字母或图式排列了三种颜色霓虹灯的规律，简便，直观性强.在这个过程中，让学生经历实际问题的“符号化”，培养学生的“符号意识”；最后，教师根据规律“列除法算式”，在培养学生“符号意识”的同时，也培养了学生的逻辑思维能力.

总之，几何直观教学的目的是把抽象的数学概念、法则、公式和定理等数学知识，通过实物或图形的描述和分析以实现教学的直观化、显性化、形象化，其宗旨在于提高数学教学的育人价值，提升学生的数学素养.这就要求教师在教学中要以理解教材、理解学生、理解数学为基础，依据初中生的认知特点和身心发展规律，创新几何直观教学的类型，辅以教具、学具、多媒体等直观教学手段，丰富数学教学的内涵.

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