对称反循环矩阵求逆的探讨

蒋加清

（台州学院 教师教育学院，浙江 临海 317000）

对称反循环矩阵求逆的探讨

蒋加清

（台州学院 教师教育学院，浙江 临海 317000）

根据对称反循环矩阵的性质，利用生成多项式和特征多项式,采用行初等变换的方法,给出了求对称反循环矩阵的逆的一种方法,有一定的实用性。

生成矩阵；对称反循环矩阵；次对角阵；生成多项式；可逆；初等行变换。

两类r—循环矩阵的研究为不少作者所关注［1-5］，文献［4］研究了对称反循环矩阵的充要条件，但目前很少看到对称反循环矩阵求逆问题.受文［3］的启发，本文利用多项式矩阵的初等行变换给出了对称反循环矩阵的算法，该算法简便、实用.

1 定义与性质

g（x）关于矩阵N的生成矩阵B，称为反循环矩阵，

多项式为m（x）=xm+1，则m（N）=0，称m（x）为矩阵N的最小零化多项式.

其中矩阵M1称为m阶基本对称反循环矩阵，简记为.，

规定Mm=Rm.可以验证.

性质1［4］设矩阵A∈Cm×m，则矩阵A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）的充要条件是.

性质2［3］设矩阵B=C-1（b0，b1，…，bm-1）可逆的充要条件是g（x）与m（x）互素.

性质3［2］，

且Ni-1=M1Mi或Mi=M1Ni-1（i=1，2，…，n）.

对称循环矩阵与对称反循环矩阵有以下矩阵关系.

2 主要结果

定理1若矩阵A是对称反循环矩阵，则矩阵A-1也是对称反循环矩阵.

因此对称反循环矩阵的逆矩阵是对称反循环矩阵.

定理2矩阵A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆的充分必要条件是互素.

而M1可逆，所以A可逆的充分必要条件是f（N）可逆.而f（N）的生成多项式是，根据性质2，所以A可逆的充分必要条件是f（x）与m（x）互素.

定理3矩阵A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆，则，其中.

证明：因为A×M1=f（N），而f（N）的生成多项式是，根据定理2，所以A可逆的充分必要条件是f（x）与m（x）互素.从而存在多项式u（x）、v（x）∈P［x］，使得f（x）u（x）+m（x）v（x）=1.取x=N，则有f（N）u（N）+m（N）v（N）=Em.又因为m（N）=0，所以f（N）u（N）=Em，即，其中.

根据定理3，求A-1=M1×u（N），只要求u（x），文献［6］用辗转相除法求u（x），计算量较大.本文通过多项式矩阵的初等行变换求u（x），方法简便.

推论1若矩阵A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆，其中，作多项式矩阵Q（x）=，对它进行一系列初等行变换化为，则SC-1（c0，c1，…，cm-1），其中.

得出对称反循环矩阵求逆算法步骤如下：

3 应用举例

因为d（x）=1，所以矩阵A可逆.

［1］沈光星.关于r—循环系统的计算复杂性［J］.数学研究与评论，1992，12（4）：595-598.

［2］董建新，周建军，曹永和.对称r—循环矩阵的结构及其特征值［J］，华中师范大学学报（自然科学版），1997，31（2）：129-132.

［3］蒋加清.r—循环矩阵求逆的一种新算法 ［J］.高等数学研究，2012，15（1）：62-65.

［4］何承源.对称反循环矩阵的充要条件［J］.四川师范大学学报（自然科学版），1997，20（4）：15-19.

［5］蒋加清.对称r—循环矩阵求逆的初等变换算法 ［J］.吉林师范大学学报（自然科学版），2013，34（3）：63-65.

［6］蒋加清.用辗转相除法求循环矩阵的逆矩阵［J］.数学理论与研究，2011，31（3）：123-128.

Study on Calculating Inverse Matrices of Symmetric Skew-Cyclic Matrices

JIANG Jia-qing

（School of Teacher Education,Taizhou University,Linhai 317000,China）

It has a practical applicability to adopt a solution to get the anti-Symmetric Skew Cyclic Matrices (SSCM)with the method of lines of elementary transformation,using the generating polynomial and characteristic polynomial by the nature of SSCM.

building a matrix;symmetric skew cyclic matrices；diagonal matrices；generating polynomial；reversibility；elementary row operation.

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.002

（责任编辑：耿继祥）

2014-06-12；

2014-07-13

蒋加清（1960- ）,男，浙江临海人，从事高等代数教学与研究。