二次曲线弦的中点轨迹方程的求解公式及其应用

王爱生 周辉 杨育栋

摘 要：该文研究二次曲线定向弦、定点弦、定长弦这三种动弦的中点轨迹方程的求解方法。通过把直线标准参数方程代入二次曲线方程中，利用直线标准参数方程的几何意义及弦的中点性质，导出了二次曲线这三种动弦的中点轨迹方程的求解公式，并借用导数记号简化了公式的形式，方便了公式的记忆和运用。从而减少了计算量，简化了过程，不仅能使二次曲线三种动弦的中点轨迹问题迎刃而解，而且能非常简便地解决许多以弦的中点有关的其它问题。

关键词：二次曲线 动弦 中点 轨迹

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（a）-0163-02

二次曲线动弦的中点轨迹主要有三种类型：（1）方向一定的弦的中点轨迹；（2）过定点的弦的中点轨迹；（3）弦长为定值的弦的中点轨迹。很多人对这个问题进行了研究，得到了许多方法和结论。但这些方法中对第（1）类问题，通常是把直线方程的斜截式代入二次曲线方程得到一个二次方程，再用韦达定理解决；对（2）类问题，通常把直线方程的点斜式代入二次曲线方程中得到一个二次方程再用韦达定理；对（3）类问题，通常是综合运用两点间的距离公式，韦达定理及多元消元法；也有一些文章解决这3类问题时用的是“没而不求法”或“点差法”等。不管怎样，一般运算量很大，技巧性特强，不便于操作和运用。

该文通过把直线标准参数方程代入二次曲线方程中，利用直线标准参数方程中t的几何意义及弦的中点性质，导出了二次曲线这三种动弦的中点轨迹方程的求解公式，并借用导数记号简化了公式的形式，方便了公式的记忆和运用，然后用实例说明如何运用这3个公式简便地解决二次曲线三种动弦的中点轨迹方程的求解问题以及这3个公式在与二次曲线弦的中点有关的许多其它问题（如弦的中点坐标的确定、与对称有关的问题等）中的广泛应用。从而使这类问题的解决变得有“法”可依，减少了计算量，简化了过程。

1 公式的推导

为了得到一般结论，从二次曲线的一般方程入手。设二次曲线C的一般方程为：

又设过点P（，），倾斜角为的直线L的标准参数方程为：

把（3）代入（1）消去x，y化简整理得关于t的二次方程：

因为直线L与曲线C有两个交点时，方程（3）总有两个相异的实根，当点为的中点时，根据t的几何意义有，由韦达定理得：

特别地，在通常情况下，

上式可写成：

形式地借用（2）的导数记号，有

对于第（1）类问题，若定向弦P1，P2的斜率为k，则，代入（6），得轨迹方程为： （Ⅰ）

对于第（2）类问题，若定点弦P1，P2经过的定点坐标为（a，b），则，代（6），得轨迹方程为：

（Ⅱ）

对于第（3）类问题，若定长弦P1，P2的弦长为L，则方程（4）的两根与分别为，代入（4），并由于（5）得

或

（Ⅲ）

其中

式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），尤其是（Ⅲ）看起来繁，但实际做题时，大多数情况下，圆锥曲线方程是标准形式，往往B=0，D=0或E=0，计算量不大。

3 公式的应用

3.1 确定动弦的中点轨迹或方程

（1）求定向弦中点的轨迹

例1 已知双曲线方程为，求斜率为2的弦的中点轨迹。

解：化双曲线方程为一般形式，又弦的斜率k=2，设弦的中点为（x，y），由公式（Ⅰ）得：，化简有

因此，所求轨迹是被双曲线所截得的两条射线。

（2）求定点弦中点的轨迹

例2 过点A（1，2），作直线L交椭圆于P1，P2两点，当L绕点A转动时，求弦中点的轨迹。

解：化椭圆方程为一般形式，又弦过定点（1，2），

设弦的中点为（x，y）由公式（Ⅱ）得： ，化简有

（﹡）

因此，所求轨迹当点A（1，2）在已知椭圆上或内部时，弦的中点轨迹是椭圆（﹡），当点A（1，2）在已知椭圆外时，弦的中点轨迹是椭圆（﹡）在已知椭圆内的一段。

（3）求定长弦中点的轨迹。

例3 已知线段AB的长为5，两个端点分别在抛物线上滑动，求线段AB的中点P的轨迹方程。

解：化抛物线方程为一般形式，又弦长为5，设弦的中点为（x，y），由公式（Ⅲ）得：，

把代入，化简得：，这就是所求的轨迹方程。

3.2 确定弦的中点坐标

例4 求直线被椭圆截得的弦的中点坐标。

解：化椭圆方程为一般形式，又弦的斜率，设弦的中点为，由公式（Ⅰ）得：，即 ①

又点在直线上得： ②

①、②联立求解，可得中点坐标为。

3.3 确定以定点为中点的弦的方程

例5 求抛物线，以点A（4，1）为中点的弦的方程。

解：设弦上任意一点为（x，y），由公式（Ⅱ）得：化简得。这就是所求的以点A（4，1）为中点的弦的方程。

3.4 求解与对称点有关的问题

例6 已知椭圆C的标准方程为，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上总有不同的两点关于直线对称。

解：化椭圆方程为一般形式：，设P1，P2是椭圆C上关于直线对称的两点，则连结P1，P2的弦所在直线的斜率。

又设弦P1，P2与直线的交点为，则此点就是弦P1，P2的中点。

由公式（Ⅰ）得：，即

又点P在已知直线上，即

由于弦的中点P在椭圆内部，因此，即，解此不等式得：

3.5 解决其它问题

例7 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，该线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。

解：由公式（Ⅲ）得：

，点M到y轴的最短距离就是的最小值。又

而且仅当，即时，的取得最小值。

因此，点M到y轴的最短距离为，此时点M的坐标为或。

例8 定长为4的线段AB，两端点分别在直角坐标系两坐标轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹。

解：把直角坐标系x轴与y轴，看成退化的圆锥曲线xy=0.设M的坐标为（x，y）

由公式（Ⅲ）得：

很明显，xy=0不属于轨迹上的点。因此，只能有，即，所求轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆。

由以上例子看出，借助公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），很多与弦的中点有关的问题，都能很简便地解决，减少了很多计算量，绕过了寻找技巧的障碍。

公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），我认为还有许多应用需要挖掘，限于自己的水平，只能暂且搁笔。

参考文献

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