分数阶域噪声预测判决反馈均衡方法的研究

安澄全，李云娜

哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001

分数阶域噪声预测判决反馈均衡方法的研究

安澄全，李云娜

哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001

针对单载波频域均衡中噪声预测判决反馈均衡结构，介绍了一种基于独特字块结构的分数阶域噪声预测均衡方法，即将接收端的时域信号转换到分数阶域实现噪声预测判决反馈均衡。分数阶域的判决反馈均衡在保持前馈与反馈部分相互独立的同时，还利用了分数阶域信号的灵活性使均衡效果更好；与此同时，利用独特字的已知特性，在接收端将独特字和有用数据分开，再进行分数阶域均衡处理，恢复出原始数据。仿真结果表明，基于独特字的分数阶域噪声预测判决反馈方法相比传统基于循环前缀的均衡方法性能有很大提升。

分数阶傅里叶变换；独特字；判决反馈均衡；噪声预测；循环前缀

在无线通信中通常存在严重的符号间干扰（in⁃ter⁃symbol interference，ISI），单载波频域均衡（single⁃carrier frequency domain equalization，SC⁃FDE）是一种能够有效解决ISI的技术［1］。目前现有的技术大多是频域的均衡分析，从信号转换的角度出发，完全可以将接收端的时域信号转换到变换域。与频域均衡的原理相同［2⁃3］，在变换域进行信号的均衡，由于变换域具有更灵活的性质，因此通过选取最匹配信道的特征就能够达到比频域均衡更好的效果［4］。

单载波块传输（single carrier block transmission，SCBT）系统中，基于迫零准则和最小均方误差准则的单抽头频域线性均衡一定程度上能够消除ISI［5］。文献［6］提出了一种基于噪声预测的判决反馈均衡，这种结构的前馈部分与反馈部分具有相互的独立性，并且前馈系数的复杂度没有传统结构中的前馈系数高［6］。由于分数阶域信号具有很好的灵活性，所以可以通过选取更匹配信道特点的阶次进行分数阶域均衡［7］，即在接收端对信号进行分数阶傅里叶变换，从而使均衡效果达到更好。

由于理想的UW是幅度恒定且对零偏移自相关函数为零的已知序列［8］，所以更适用于在SCBT系统中进行同步、信道估计和均衡［9⁃11］。文献［3］给出了一种将有用数据和UW分开处理的算法，在MMSE频域均衡中获得了性能的提高，本文在此基础上引入基于UW块结构的分数阶域噪声预测判决反馈均衡，仿真结果表明该方法相比频域均衡性能有很大提升。

1 分数阶域SCBT系统模型

1．1 分数阶傅里叶变换及其离散实现

分数阶傅里叶变换可以认为是傅里叶变换的广义形式，是一种新的时频分析工具，可以理解为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转某一角度后构成的分数阶域上的表示方法。信号x（t）的p阶分数阶傅里叶变换的定义为

式中：Fp·[]为FRFT算子符号，p＝2α／π为FRFT的阶次，α为分数阶傅里叶域与时域的夹角，Kp（u，t）是FRFT的变换核，表示为

可以看出，当阶次p＝1时，分数阶傅里叶变换变成了傅里叶变换。p阶分数阶傅里叶变换的逆变换为

在工程应用中，常需计算离散形式的FRFT，即离散分数阶傅里叶变换（DFRFT），Fp为N×N的DFRFT矩阵，其元素为

离散分数阶傅里叶变换的逆变换F－p＝（Fp）H，矩阵F－p中的元素为

1．2 分数阶傅立叶变换的性质

分数阶傅里叶变换具有几个重要的性质［4］。

1）线性性质

因为分数阶傅里叶变换是线性变换，所以它满足叠加原理：

式中：cn为复常数，n为整数。

2）Parseval关系

式（4）表示的是分数阶傅里叶变换满足的Parseval关系，根据这个关系还能得到它也具有能量守恒关系

3）分数阶圆周卷积

分数阶圆周卷积定理为：时域上2个序列的周期为N的p阶分数阶圆周卷积对应于它们p阶离散分数阶傅里叶变换的乘积再乘以一个线性调频信号，即

2 分数阶域SCBT系统模型

分数阶域单载波块传输系统中，循环前缀UW由chirp周期性［4］

得到

即分数阶域的循环前缀是在按照传统方法复制尾部内容的同时应按式（5）叠加一个相位项，以此作为添加的循环前缀。这样，在接收端去掉循环前缀后，发射信号通过信道的过程可以转化为分数阶圆周卷积的过程。图1给出分数阶域发送的数据帧格式。

图1 分数阶域插入循环前缀后的帧格式

假设多径信道为在一个DFRFT块内不变的准静止信道，其冲击响应长度为K，用N×1向量形式表示为h＝（h0，h1，…，hK－1，0，…）T，N为DFRFT变换长度。设数据符号为互不相关的BPSK调制信号，发送端发送的一个数据块为x＝d＋u，其中d＝[d0，d1，…，dM－1，01×L]T，u＝[01×M，u0，u1，…，uL－1]T，M为数据的长度，L为UW字的长度，并且L≥K，N＝M＋L．

3 分数阶域NP⁃DFE均衡结构原理分析

针对传统频域噪声预测判决反馈均衡，考虑到频域变换是分数阶域变换的一种，而目前现有的技术大多是频域的均衡分析，从信号转换的角度出发，完全可以将接收端的时域信号转换到分数阶变换域。本文对NP⁃DFE均衡方法在分数阶域的实现进行了详细地推导与仿真，可以发现由于分数阶变换域可以根据所需的性能，从而灵活地改变参数p，达到与信道特征最为匹配的效果，比传统频域均衡效果更好。

设接收信号为r＝[r0，r1，…，rN－1]T，那么发送信号通过信道的过程用信道卷积矩阵表示为：r＝hx＋v，其中：v为均值为零、方差为σ2v的高斯白噪声向量，与发送信号独立；h为N×N的循环矩阵，其第一行元素为（h0，0，…，hK－1，…，h1）。图2是分数阶域噪声预测判决反馈均衡的原理图。

图2 分数阶域NP⁃DFE原理

对接收信号取DFRFT，根据分数阶卷积定理：

由于信道h和u都是已知的，所以HpUpe－A也是已知，可在接收端将这部分去除。则接收信号为

接收信号rp经过前端线性均衡处理后的信号为

假设接收端判决正确，z＝s－（I－c）（s－d），c是N×N循环矩阵，其主对角线元素为1，且第一行元素为[1 0…0－cB－cB－1…－c1]，ci（i＝1，…，B）是B阶反馈系数。

整个判决反馈均衡的误差向量为

求前馈和反馈系数，使得E{ εεH}最小，其目标函数为

式中：Tp＝σ2dHpΩHHp＋σ2vIN，Ω＝FpI′F－p，I′≜［IM0M×L；0L×M0L×L］，E（·）为求期望，tr（·）为矩阵的迹。

采用最小均方误差（MMSE）准则，由梯度算法得前馈系数矩阵为

从式（10）可以看出，前馈均衡系数中只包含了分数阶域的信道响应Hp和分数阶域的噪声与功率的比值，因此分数阶域的噪声预测结构具有独立性。为了得到反馈系数，将式（10）带入式（9）中，得到：

式中：Λp＝F－pcFp为分数阶域的转移矩阵，若p＝1，则Λ为对角矩阵；ψ＝Ω－σ2ΩHHHT－1HΩ，其主

dppp对角线上元素为{ψk}，式（11）可进一步写成：令式（12）的梯度为零，求得的cn值使J值最小，得到反馈系数cn满足一组线性方程，写成矩阵形式为

4 仿真结果与分析

下面对分数阶域NP⁃DFE进行系统仿真，并与同等条件下的频域NP－DFE进行对比分析。具体的仿真参数如下：采用BPSK的调制方式，每个数据块长度为512 bytes，但由于要采用UW作为循环前缀，若循环前缀UW长度为64 bytes，故需将有效数据长度设置为448，若干个这样的数据块也就组成了一帧数据。在仿真中，假设接收端已经获得了理想的同步，信道响应则需要利用UW进行估计。这里信道选取多径数为16的莱斯信道，分为强干扰和弱干扰2种进行仿真对比。

文中分数阶傅里叶变换的阶次p选择在0．5～1．5，通过使误差函数最小的方法找出每个信噪比下最优的阶次。图3、4分别为弱干扰和强干扰下分数阶域和频域NP⁃DFE的误码率（BER）曲线。

图3 弱干扰下NP⁃DFE的误码率对比

图3采用的信道模型为［0．93，0．4，0．012，0．09，0．007，0．007，0．004，0．002，0．004，0．001，0．004，0．002，0．009，0．007，0．007，0．004］，可以看出这种信道干扰较弱。当信噪比达到16 dB时，FRFT⁃NP⁃DFE的误码率达到10－4；而FFT⁃NP⁃DFE在信噪比19 dB时误码率才刚低出10－3，说明FRFT⁃NP⁃DFF均衡性能要优于FFT⁃NP⁃DFE均衡性能一个数量级。

图4 弱干扰下NP⁃DFE的误码率对比

图4是选择了一个各径干扰相对加强的莱斯信道进行了仿真，信道模型为［0．93，0．4，0．012，0．9，0．07，0．07，0．04，0．01，0．04，0．01，0．04，0．02，0．09，0．07，0．07，0．04］。通过比较2个图可以看出分数阶域均衡受加强的多径干扰影响不大。在强干扰信道中，当信噪比达到16 dB时，FRFT⁃NP⁃DFE的误码率已经低于10－3，而FFT⁃NP⁃DFE在此时的误码率还停留在10－2，说明频域NP⁃DFE均衡受加强的多径干扰影响较大。

5 结束语

单载波分数阶域判决反馈均衡系统能够更加有效地抵抗无线信道的频率选择性衰落。由于噪声预测判决反馈均衡特殊的结构使其在性能和计算复杂度之间得到折中处理。本文在单载波块传输系统中，研究了噪声预测判决反馈在分数阶域的实现，采用矩阵运算方法详细推导分数阶域均衡系数，算法实现过程简单，解决了以前分数阶域NP－DFE实现过程复杂的问题。仿真结果表明分数阶域NP－DFE均衡具有比频域NP－DFE均衡更优的性能。

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Prediction decision feedback equalization method based on a fractional order domain noise

AN Chengquan，LI Yunna

（College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Aiming at noise prediction decision feedback equalization structure of single carrier frequency domain e⁃qualization，this paper introduces a fractional order domain noise prediction equalization method based on the unique word block structure，which means the received time domain signals were converted to fractional order domain to real⁃ize noise prediction decision feedback equalization．Fractional order domain decision feedback equalization not only keeps the property of mutual independence of feedforward part and feedback part，but also makes use of the flexibility of fractional order domain signal to improve equalization effect；at the same time，by making use of the known charac⁃teristics of the unique word，useful data and unique word can be separated at the receiving end，and then fractional order domain equalization processing is conducted to restore the original data．The simulation results show that com⁃pared with the traditional method based on circular prefix，this method of fractional order domain noise prediction de⁃cision feedback，which is based on the unique characters，has great improvement in equalization performance．

fractional Fourier transform（FRFT）；unique word（UW）；decision feedback equalization（DFE）；noise pridictionprediction（NP）；cyclic prefix（CP）

TN911．5

A

1009⁃671X（2014）01⁃0030⁃05

10．3969／j．issn．1009－671X．201212002

2012⁃11⁃20．

日期：2013⁃07⁃04．

国家自然科学基金资助项目（61074076）．

安澄全（1974⁃），男，副教授，博士；李云娜（1986⁃），女，硕士研究生．

安澄全，E⁃mail：anchengquan＠hrbeu．edu．cn．

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1191．U．20130704．1124．001．html