从“出错”谈数感培养

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

批改学生作业时，我们经常会发现一些让人哭笑不得的“低级”错误。如，教师在教授了“长方体和正方体”的知识以后，要求学生完成单元检测中关于填上合适的单位名称的填空题。有的学生就会给出“一块橡皮的体积大约3立方分米”，“一间教室的面积大约是50平方厘米”等不合情理的答案。

为什么学生会出现这样的错误呢？除开粗心、马虎这类性格上的原因外，这很大程度上与学生对数和量缺乏足够的认识，没有养成良好的数感有关。作为教师，在分析学生出错原因的同时，是否也应该反思一下我们的课堂教学呢？

早在2001年，数学课程标准就明确提出“要重视培养和发展学生的数感”，但在现实教学中，很多教师忽视了这一点，学生造成以上的错误也就不足为奇了。作为数学教师，要想很好地培养和发展学生的数感，自己必须要学习和研究一些有关“数感”的基本理论和方法，并将它们切实落实到课堂教学中去。

提高对数感内涵的认识

数感是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中的核心概念之一。总目标中指出：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。”其中“数感”摆在了首要的位置，可见理解“数感”这个概念，并让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。

什么是数感？《标准》指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

美国国家数学教师委员会对数感作了如下解释：充分了解数的意义；了解数与数之间的多种关系；可以辨别数的相对大小；知道数运算的实际效果；能把数学知识与他们周围环境中常见的物体和情境相联系。

可见，数感不仅是一个概念，更是学习数学的重要结构变量，是认知数学对象进而形成数学思维、数学素养的一种心智技能，是学生根据积累的数的经验所发展出的一整套认知结构。数感表现最显著的特点是对数的感知、感悟和反应，而这种感知反应是一个民族历史文化的沉淀。明确了对数感内涵的基本认识，教师有了足够底气，教学时才能做到有的放矢。

明确数感的教育价值

第一，建立数感有助于提高学生的数学素养。作为公民素养之一的数学素养，不是用计算能力的强弱和解决书本问题能力的大小就能衡量的。能否数学地思考问题，是否具有理解和解释实际问题的数学敏感，这才是衡量一个人是否有数学素养的重要标志。

例如，一个小学一年级学生学习了自然数的意义之后，懂得了自然数可以表示物体的个数，当他看见盘子里的苹果时，不再是注意苹果的颜色，而是关注苹果的个数，并且懂得比较两个盘子中苹果的多少。这样，我们可以认为这个小学生具有了自然数感，这是他数学素养提高的标志。还有，当学生能运用所学的百分数知识来理解商场促销活动，能解决促销中的相关数学问题时，这说明学生具有良好的“数感”。

第二，建立数感有助于学生构建数概念网络。我们知道，数感是关于数概念的网络结构，数概念网络是接受数学知识的一个平台。数概念网络结构的形成和稳定是数感建立的关键，数感的建立有助于学生构建数概念网络体系。

例如，学生在为参加学校运动会的全体运动员编号时，老师要求从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，标示出参加的项目类别。这是一个实际问题，它没有固定的编排方式，而且不同的编排方式在实用性上是不同的。依托自我建立的数感，学生就能有效地解决这一问题了。

第三，建立数感有助于发展学生的创新精神和实践能力。学生在建立数感的过程中，有很多机会接触现实问题，在解决现实问题的过程中，他们可以和朋友交流，表达自己对有关数的问题的个性化看法，他们可以尝试用不同的方式思考和解决同一问题，这无疑能对他们原有的数学知识结构进行改造，从而激发创新活力。

例如，用一根36米的篱笆来围一个花坛，怎样围花坛的面积最大？针对这一问题，学生可以设计一些能“围成”的可行方案，经过一系列的操作、计算、比较，最后归纳得出，围成圆形花坛时面积最大。通过解决这样的问题，学生不仅丰富了面积大小的数感，而且在解决问题的过程中，创新精神和实践能力也得到了发展。

通过多种途径来培养学生的数感

注重学习过程，体验数感。学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的，教学过程中教师应结合有关内容，加强对学生数感的培养。对具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大帮助。如，为了建立“1公顷”的概念，可以把学生带到与1公顷相当的学校、广场、社区等地方去“步测”和“目测”，加深他们对公顷的感性认识。

此外，在教学时，我们还要借助图形来提升学生的认知水平。如教学（a+b）（c+d）时，可以用矩形面积的计算来直观解释（如左图），也可以用图形来解释说明两位数乘两位数（如右图）。

这样教学，不仅有利于建构对数意义，也渗透了“数形结合”的数学思想方法，有利于学生建立数感。

加强实验操作，内化数感。小学生在学习数学时基本上要借助于直观手段和实际操作活动，这是由大部分学生的年龄特征和认知水平决定的。通过操作活动，能够促使学生更深刻地理解数学知识，从而建立数感、发展数感。

如思考：学校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估计一下一年用多少双这样的筷子？大约需要多少棵普通树才能做成？教师可以让学生课外去收集10双这样的筷子，然后以它的体积作为单位去估算。与此同时，让学生思考10所这样的学校、一个城市几百所这样的学校，如果都使用这样的筷子，一年将要砍伐多少棵树。对这个问题的分析思考就是一个“数学化”的过程，学生可以在这个过程中逐步学习“数学地理解和认识事物”。

加强估算训练，培养数感。加强估算是培养学生数感的有效途径之一，教师教学时要善于抓住各种有利时机，创造性地开发教学资源，以学生熟悉的、感兴趣的生活内容为题材，从中体会估算的价值，增强估算的意识，使学生在不断地估算学习中发展数感。

例如，让学生表述一个足球场大约有几个篮球场大，家的具体位置在哪里（用方位说出可以增强方位感和空间观念，从而训练坐标观念），你家离学校有多远（用米或千米说出，可以增强距离感），你家的房子面积有多大等。

注重“温故知新”，发展数感。培养和发展学生的数感是一个循序渐进，从量变到质变的过程，在平时的教学中，我们要把培养学生的数感贯穿在教学的始终，既作为当前目标，又作为长远目标。在教学新知时，要注重与旧知建立联系，让一些不清晰的数感，在新知的学习中加以完善。

例如，学习“圆柱的表面积和体积”时，我们可以多花一点时间，让学生回顾长度单位、面积单位、体积单位以及求平面图形的面积的方法。

回顾旧知的过程，既是一个唤醒数感的过程，也是一个“磨刀”的过程，是很重要的学习环节。在学习新知时，教师要常提醒学生，一是要关注方法的正确性，二是要关注数量单位的合理性。如果学生学习能做到“一步一回头”，常温故而知新，那么其数感就会自然的得到提升和发展。

责任编辑 严 芳

（栏目主持人：严芳 E-mail：761753566@qq.com）

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

批改学生作业时，我们经常会发现一些让人哭笑不得的“低级”错误。如，教师在教授了“长方体和正方体”的知识以后，要求学生完成单元检测中关于填上合适的单位名称的填空题。有的学生就会给出“一块橡皮的体积大约3立方分米”，“一间教室的面积大约是50平方厘米”等不合情理的答案。

为什么学生会出现这样的错误呢？除开粗心、马虎这类性格上的原因外，这很大程度上与学生对数和量缺乏足够的认识，没有养成良好的数感有关。作为教师，在分析学生出错原因的同时，是否也应该反思一下我们的课堂教学呢？

早在2001年，数学课程标准就明确提出“要重视培养和发展学生的数感”，但在现实教学中，很多教师忽视了这一点，学生造成以上的错误也就不足为奇了。作为数学教师，要想很好地培养和发展学生的数感，自己必须要学习和研究一些有关“数感”的基本理论和方法，并将它们切实落实到课堂教学中去。

提高对数感内涵的认识

数感是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中的核心概念之一。总目标中指出：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。”其中“数感”摆在了首要的位置，可见理解“数感”这个概念，并让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。

什么是数感？《标准》指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

美国国家数学教师委员会对数感作了如下解释：充分了解数的意义；了解数与数之间的多种关系；可以辨别数的相对大小；知道数运算的实际效果；能把数学知识与他们周围环境中常见的物体和情境相联系。

可见，数感不仅是一个概念，更是学习数学的重要结构变量，是认知数学对象进而形成数学思维、数学素养的一种心智技能，是学生根据积累的数的经验所发展出的一整套认知结构。数感表现最显著的特点是对数的感知、感悟和反应，而这种感知反应是一个民族历史文化的沉淀。明确了对数感内涵的基本认识，教师有了足够底气，教学时才能做到有的放矢。

明确数感的教育价值

第一，建立数感有助于提高学生的数学素养。作为公民素养之一的数学素养，不是用计算能力的强弱和解决书本问题能力的大小就能衡量的。能否数学地思考问题，是否具有理解和解释实际问题的数学敏感，这才是衡量一个人是否有数学素养的重要标志。

例如，一个小学一年级学生学习了自然数的意义之后，懂得了自然数可以表示物体的个数，当他看见盘子里的苹果时，不再是注意苹果的颜色，而是关注苹果的个数，并且懂得比较两个盘子中苹果的多少。这样，我们可以认为这个小学生具有了自然数感，这是他数学素养提高的标志。还有，当学生能运用所学的百分数知识来理解商场促销活动，能解决促销中的相关数学问题时，这说明学生具有良好的“数感”。

第二，建立数感有助于学生构建数概念网络。我们知道，数感是关于数概念的网络结构，数概念网络是接受数学知识的一个平台。数概念网络结构的形成和稳定是数感建立的关键，数感的建立有助于学生构建数概念网络体系。

例如，学生在为参加学校运动会的全体运动员编号时，老师要求从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，标示出参加的项目类别。这是一个实际问题，它没有固定的编排方式，而且不同的编排方式在实用性上是不同的。依托自我建立的数感，学生就能有效地解决这一问题了。

第三，建立数感有助于发展学生的创新精神和实践能力。学生在建立数感的过程中，有很多机会接触现实问题，在解决现实问题的过程中，他们可以和朋友交流，表达自己对有关数的问题的个性化看法，他们可以尝试用不同的方式思考和解决同一问题，这无疑能对他们原有的数学知识结构进行改造，从而激发创新活力。

例如，用一根36米的篱笆来围一个花坛，怎样围花坛的面积最大？针对这一问题，学生可以设计一些能“围成”的可行方案，经过一系列的操作、计算、比较，最后归纳得出，围成圆形花坛时面积最大。通过解决这样的问题，学生不仅丰富了面积大小的数感，而且在解决问题的过程中，创新精神和实践能力也得到了发展。

通过多种途径来培养学生的数感

注重学习过程，体验数感。学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的，教学过程中教师应结合有关内容，加强对学生数感的培养。对具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大帮助。如，为了建立“1公顷”的概念，可以把学生带到与1公顷相当的学校、广场、社区等地方去“步测”和“目测”，加深他们对公顷的感性认识。

此外，在教学时，我们还要借助图形来提升学生的认知水平。如教学（a+b）（c+d）时，可以用矩形面积的计算来直观解释（如左图），也可以用图形来解释说明两位数乘两位数（如右图）。

这样教学，不仅有利于建构对数意义，也渗透了“数形结合”的数学思想方法，有利于学生建立数感。

加强实验操作，内化数感。小学生在学习数学时基本上要借助于直观手段和实际操作活动，这是由大部分学生的年龄特征和认知水平决定的。通过操作活动，能够促使学生更深刻地理解数学知识，从而建立数感、发展数感。

如思考：学校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估计一下一年用多少双这样的筷子？大约需要多少棵普通树才能做成？教师可以让学生课外去收集10双这样的筷子，然后以它的体积作为单位去估算。与此同时，让学生思考10所这样的学校、一个城市几百所这样的学校，如果都使用这样的筷子，一年将要砍伐多少棵树。对这个问题的分析思考就是一个“数学化”的过程，学生可以在这个过程中逐步学习“数学地理解和认识事物”。

加强估算训练，培养数感。加强估算是培养学生数感的有效途径之一，教师教学时要善于抓住各种有利时机，创造性地开发教学资源，以学生熟悉的、感兴趣的生活内容为题材，从中体会估算的价值，增强估算的意识，使学生在不断地估算学习中发展数感。

例如，让学生表述一个足球场大约有几个篮球场大，家的具体位置在哪里（用方位说出可以增强方位感和空间观念，从而训练坐标观念），你家离学校有多远（用米或千米说出，可以增强距离感），你家的房子面积有多大等。

注重“温故知新”，发展数感。培养和发展学生的数感是一个循序渐进，从量变到质变的过程，在平时的教学中，我们要把培养学生的数感贯穿在教学的始终，既作为当前目标，又作为长远目标。在教学新知时，要注重与旧知建立联系，让一些不清晰的数感，在新知的学习中加以完善。

例如，学习“圆柱的表面积和体积”时，我们可以多花一点时间，让学生回顾长度单位、面积单位、体积单位以及求平面图形的面积的方法。

回顾旧知的过程，既是一个唤醒数感的过程，也是一个“磨刀”的过程，是很重要的学习环节。在学习新知时，教师要常提醒学生，一是要关注方法的正确性，二是要关注数量单位的合理性。如果学生学习能做到“一步一回头”，常温故而知新，那么其数感就会自然的得到提升和发展。

责任编辑 严 芳

（栏目主持人：严芳 E-mail：761753566@qq.com）

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

批改学生作业时，我们经常会发现一些让人哭笑不得的“低级”错误。如，教师在教授了“长方体和正方体”的知识以后，要求学生完成单元检测中关于填上合适的单位名称的填空题。有的学生就会给出“一块橡皮的体积大约3立方分米”，“一间教室的面积大约是50平方厘米”等不合情理的答案。

为什么学生会出现这样的错误呢？除开粗心、马虎这类性格上的原因外，这很大程度上与学生对数和量缺乏足够的认识，没有养成良好的数感有关。作为教师，在分析学生出错原因的同时，是否也应该反思一下我们的课堂教学呢？

早在2001年，数学课程标准就明确提出“要重视培养和发展学生的数感”，但在现实教学中，很多教师忽视了这一点，学生造成以上的错误也就不足为奇了。作为数学教师，要想很好地培养和发展学生的数感，自己必须要学习和研究一些有关“数感”的基本理论和方法，并将它们切实落实到课堂教学中去。

提高对数感内涵的认识

数感是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中的核心概念之一。总目标中指出：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。”其中“数感”摆在了首要的位置，可见理解“数感”这个概念，并让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。

什么是数感？《标准》指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

美国国家数学教师委员会对数感作了如下解释：充分了解数的意义；了解数与数之间的多种关系；可以辨别数的相对大小；知道数运算的实际效果；能把数学知识与他们周围环境中常见的物体和情境相联系。

可见，数感不仅是一个概念，更是学习数学的重要结构变量，是认知数学对象进而形成数学思维、数学素养的一种心智技能，是学生根据积累的数的经验所发展出的一整套认知结构。数感表现最显著的特点是对数的感知、感悟和反应，而这种感知反应是一个民族历史文化的沉淀。明确了对数感内涵的基本认识，教师有了足够底气，教学时才能做到有的放矢。

明确数感的教育价值

第一，建立数感有助于提高学生的数学素养。作为公民素养之一的数学素养，不是用计算能力的强弱和解决书本问题能力的大小就能衡量的。能否数学地思考问题，是否具有理解和解释实际问题的数学敏感，这才是衡量一个人是否有数学素养的重要标志。

例如，一个小学一年级学生学习了自然数的意义之后，懂得了自然数可以表示物体的个数，当他看见盘子里的苹果时，不再是注意苹果的颜色，而是关注苹果的个数，并且懂得比较两个盘子中苹果的多少。这样，我们可以认为这个小学生具有了自然数感，这是他数学素养提高的标志。还有，当学生能运用所学的百分数知识来理解商场促销活动，能解决促销中的相关数学问题时，这说明学生具有良好的“数感”。

第二，建立数感有助于学生构建数概念网络。我们知道，数感是关于数概念的网络结构，数概念网络是接受数学知识的一个平台。数概念网络结构的形成和稳定是数感建立的关键，数感的建立有助于学生构建数概念网络体系。

例如，学生在为参加学校运动会的全体运动员编号时，老师要求从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，标示出参加的项目类别。这是一个实际问题，它没有固定的编排方式，而且不同的编排方式在实用性上是不同的。依托自我建立的数感，学生就能有效地解决这一问题了。

第三，建立数感有助于发展学生的创新精神和实践能力。学生在建立数感的过程中，有很多机会接触现实问题，在解决现实问题的过程中，他们可以和朋友交流，表达自己对有关数的问题的个性化看法，他们可以尝试用不同的方式思考和解决同一问题，这无疑能对他们原有的数学知识结构进行改造，从而激发创新活力。

例如，用一根36米的篱笆来围一个花坛，怎样围花坛的面积最大？针对这一问题，学生可以设计一些能“围成”的可行方案，经过一系列的操作、计算、比较，最后归纳得出，围成圆形花坛时面积最大。通过解决这样的问题，学生不仅丰富了面积大小的数感，而且在解决问题的过程中，创新精神和实践能力也得到了发展。

通过多种途径来培养学生的数感

注重学习过程，体验数感。学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的，教学过程中教师应结合有关内容，加强对学生数感的培养。对具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大帮助。如，为了建立“1公顷”的概念，可以把学生带到与1公顷相当的学校、广场、社区等地方去“步测”和“目测”，加深他们对公顷的感性认识。

此外，在教学时，我们还要借助图形来提升学生的认知水平。如教学（a+b）（c+d）时，可以用矩形面积的计算来直观解释（如左图），也可以用图形来解释说明两位数乘两位数（如右图）。

这样教学，不仅有利于建构对数意义，也渗透了“数形结合”的数学思想方法，有利于学生建立数感。

加强实验操作，内化数感。小学生在学习数学时基本上要借助于直观手段和实际操作活动，这是由大部分学生的年龄特征和认知水平决定的。通过操作活动，能够促使学生更深刻地理解数学知识，从而建立数感、发展数感。

如思考：学校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估计一下一年用多少双这样的筷子？大约需要多少棵普通树才能做成？教师可以让学生课外去收集10双这样的筷子，然后以它的体积作为单位去估算。与此同时，让学生思考10所这样的学校、一个城市几百所这样的学校，如果都使用这样的筷子，一年将要砍伐多少棵树。对这个问题的分析思考就是一个“数学化”的过程，学生可以在这个过程中逐步学习“数学地理解和认识事物”。

加强估算训练，培养数感。加强估算是培养学生数感的有效途径之一，教师教学时要善于抓住各种有利时机，创造性地开发教学资源，以学生熟悉的、感兴趣的生活内容为题材，从中体会估算的价值，增强估算的意识，使学生在不断地估算学习中发展数感。

例如，让学生表述一个足球场大约有几个篮球场大，家的具体位置在哪里（用方位说出可以增强方位感和空间观念，从而训练坐标观念），你家离学校有多远（用米或千米说出，可以增强距离感），你家的房子面积有多大等。

注重“温故知新”，发展数感。培养和发展学生的数感是一个循序渐进，从量变到质变的过程，在平时的教学中，我们要把培养学生的数感贯穿在教学的始终，既作为当前目标，又作为长远目标。在教学新知时，要注重与旧知建立联系，让一些不清晰的数感，在新知的学习中加以完善。

例如，学习“圆柱的表面积和体积”时，我们可以多花一点时间，让学生回顾长度单位、面积单位、体积单位以及求平面图形的面积的方法。

回顾旧知的过程，既是一个唤醒数感的过程，也是一个“磨刀”的过程，是很重要的学习环节。在学习新知时，教师要常提醒学生，一是要关注方法的正确性，二是要关注数量单位的合理性。如果学生学习能做到“一步一回头”，常温故而知新，那么其数感就会自然的得到提升和发展。

责任编辑 严 芳

（栏目主持人：严芳 E-mail：761753566@qq.com）