生成非Cross簇的最小幺半群

李永康,张文婷

(1.诺瓦东南大学数学、科学与科技系,美国 佛罗里达 33314;2.兰州大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730000)

一个有限生成的,有限基的且包含有限多个子簇的代数簇称作Cross簇.由有限群[1]、 有限环[2-3]、有限李代数[4]生成的簇都是Cross簇.但是这一结果对一般代数并不成立,比如3阶的交换半群S={1,2,3},其乘法表如下:

S123111121123123

由S生成的半群簇包含无限多个子簇[5],故它是非Cross簇.此外不同构于半群S的所有阶数小于等于3的半群都生成Cross半群簇[6].因此,在同构意义下,S是生成非Cross半群簇的最小阶数的半群.

半群S同时也是幺半群,而当焦点由半群簇转移到幺半群簇时情形却完全不同,因S生成一个仅有3个子簇的Cross幺半群簇,由此可知所有阶数小于等于3的幺半群生成的幺半群簇都是Cross簇.在此基础上,本文将对生成非Cross幺半群簇的幺半群的最小阶数是多少进行研究.

定理在同构和反同构的意义下,生成非Cross幺半群簇的最小幺半群仅有一个:5 阶幺半群M5={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

M512345111111 211123 333333 412345 555555

本文在第3节将证明幺半群M5生成一个非Cross幺半群簇,在第4节证明其他所有小于等于5阶的幺半群都生成Cross幺半群簇.从而定理得证.

1 预备知识

对任意的变元集X,记X*为X上的自由幺半群,X*上的元素称作字.用u≈v表示等式,其中u和v都是字.称幺半群M满足等式u≈v,如果对于映射到M的任意替代φ都有φ(u)和φ(v)相等.称幺半群M满足等式集Σ,如果M满足Σ中所有等式.

设U是所有满足等式集Σ的幺半群组成的类,则称U为Σ定义的幺半群簇,Σ为U的一个等式基.称幺半群类U为幺半群簇,如果U是某个等式集定义的幺半群簇.等价地,一个幺半群类U是幺半群簇当且仅当U在同态像、子幺半群和任意直积运算下封闭[7].由一类幺半群生成的簇是包含这个幺半群类的最小簇.

称一个簇是有限基的,如果它有一个有限的等式基.称一个簇是有限生成的,如果它可以由一个有限代数生成.一个有限生成的,有限基的且包含有限多个子簇的簇称作Cross簇.

引理1任意一个Cross簇的所有子簇都是Cross簇.

证明参阅文献[8]中定理2.1.

关于簇和泛代数的更多信息可以参阅文献[9].

2 由M5生成的幺半群簇

由M5生成的幺半群簇记作5,由等式集

xhxtx≈xhxt,

(1)

xhytxy≈xhytyx,

(2)

xy2z2x2≈x2y2z2x2

(3)

引理2对任意的n≥0,幺半群簇不满足等式

pn≈qn,

其中

x0h(x1x0x2x1…xn+1xn)txn+1

和

x0hx1(x1x0x2x1…xn+1xn)txn+1.

证明将等式集(1)～(3)应用到字pn,则得到的字的形式必然为

x0hx1w0x2w1…xn+1wntwn+1,

其中wi∈{x0,…,xi}*xi{x0,…,xi}*.故等式集(1)～(3)不能将字pn转化为qn,于是簇不满足等式pn≈qn.

引理3设M是幺半群簇中任意一个有限幺半群且|M|

其中

1≤j

令

则

即M满足等式pn≈qn.

命题1幺半群簇是非有限生成的.

证明如果幺半群簇是有限生成的,那么由引理3可知对于某个n,它满足等式pn≈qn,这与引理2矛盾.

3 其他幺半群生成的簇

本节将证明除了同构或反同构于M5的幺半群之外,所有小于等于5阶的幺半群都生成Cross幺半群簇.

引理4设M是满足等式

xyx≈x2y

(4)

或者

xyx≈yx2

(5)

的任意一个有限幺半群，则M生成一个Cross幺半群簇.

证明设M是满足等式(4)的任意一个有限幺半群,且是由M生成的幺半群簇.由于幺半群M是有限的,故必然存在某个n≥1,使得幺半群簇满足等式x2n≈xn.于是包含有限多个交换子簇[11].另外由文献[12]中命题4.1可知,簇包含的非交换子簇也是有限多个.从而包含有限多个子簇,由文献[13]中引理7可知是Cross幺半群簇.

由对称性可知,满足等式(5)的任意有限幺半群也生成一个Cross幺半群簇.

引理5设M是满足等式集

(6)

或者

(7)

的任意一个幺半群，则M生成一个Cross幺半群簇.

证明设幺半群A={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

由文献[14]中命题3.2(c)可知,等式集(6)是由A生成的幺半群簇的一个等式基.因为A是一个完全正则幺半群且它的幂等元构成一个正则带,所以幺半群簇包含有限多个子簇[15],从而是一个Cross幺半群簇.显然满足等式集(6)的任意幺半群生成的簇都是的子簇,故由引理1可知它是Cross幺半群簇.

由对称性可知,满足等式集(7)的任意幺半群也生成一个Cross幺半群簇.

引理6[16]满足等式

xyxzx≈xyzx

(8)

的任意幺半群生成一个Cross幺半群簇.

引理7满足等式集

(9)

的任意幺半群生成一个Cross幺半群簇.

证明设幺半群B={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

B12345111111211122311133412345513254

由文献[14]的命题3.2(d)和文献[17]的引理7.1可知,等式集(9)是由B生成的幺半群簇的一个等式基.由文献[17]中定理7.2的证明可知,的任意真子簇都满足等式(4).因此由等式集(4)和(9)定义的簇是幺半群簇的唯一极大真子簇,由引理4可知是Cross簇.从而是一个Cross幺半群簇.显然满足等式集(9)的任意幺半群生成的簇都是的子簇,故由引理1可知它是Cross幺半群簇.

命题2所有小于等于 4阶的幺半群都生成Cross幺半群簇.

证明在同构和反同构的意义下,存在27个4阶幺半群[18].例行地可以验证这些幺半群每一个都满足式(4)～(7)中的某个等式集,故由引理4和5可知结论成立.

命题3在同构和反同构的意义下,除了M5之外,所有 5阶幺半群都生成Cross幺半群簇.

证明设M是既不同构也不反同构于M5的任意一个5阶幺半群.由文献[17]中第5节可知幺半群M满足式(4)～(9)中的某个等式集,故由引理4～7可知结论成立.

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