回归教材 突出本质 注重核心 强调探究——近3年福建省数学高考理科圆锥曲线综合题分析及启示

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(连江第一中学 福建连江 350500)

圆锥曲线作为解析几何的核心内容,一直是高考的重点与热点,多以中、高档题的形式出现,考查学生的分析问题与综合解决问题的能力.纵观近3年福建省数学高考理科圆锥曲线试题,平凡但不平淡,简约而不简单,强调数学本质,突出解析几何的核心内容、基本思想及教育价值,充分发挥对中学数学教学的正确导向作用.本文试以高考圆锥曲线综合题为例作些分析,期望对高三的复习教学有所帮助.

1 高考真题分析

1.1 众里寻它千百度——蓦然回首,那“题”却在“教材”处

高考命题“源于教材,高于教材”,许多考题我们似曾相识,缘于其“根源”隐匿于教材例、习题当中,2013年福建省数学高考理科试题第18题就是一个典范.

例1如图1,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.联结OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(其中i∈N*,1≤i≤9).

(1)求证：点Pi(其中i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程；

(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的2个点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.

(2013年福建省数学高考理科试题第18题)

图1 图2

1.2 “知识”与“思想”齐飞——立足本质,渗透思想,强调教育价值

高考命题力求立足数学本质,从数学各分支的核心内容、学科思想以及相关分支的教育价值入手设置试题,合理地检测学生的基本数学素养.其中解析几何突出其“坐标法”的本质,要求考生将几何问题代数化,并合理地运用代数手段解决几何问题,体现解析几何的基本思想,强调解析几何的教育价值.

(1)求椭圆E的方程.

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

(2012年福建省数学高考理科试题第19题)

图3 图4

1.3 不畏浮云遮望眼——揭本探源,延伸拓展

高考探索性问题,往往隐藏着深刻的背景根源,只有深入研究,拨开“遮眼”的“浮云”,透过现象看本质,才能洞悉其中的“玄机”,领略美妙的意境.

(1)求双曲线E的离心率.

(2)如图4,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于点A,B(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由.

(2014年福建省数学高考理科试题第19题)

分析本题背景深刻,内涵丰富,这个“动中有定”、“变与不变”和谐共存的优美结论其实具有一般性,将试题结论推广到一般情形,并研究其逆命题,可得如下结论：

图5

2 启示

2.1 要实现从真正意义上回归教材

教材是一种丰富的课程资源,是课堂教学中师生互动的桥梁,为教师的教和学生的学提供了大量有一定弹性的知识素材,更是学生开展思维活动、发展思维能力的主要载体.教材中的例题和习题都是经过专家反复考量的,具有很强的基础性、示范性和可迁移性,并且内容丰富,题型多样,反映相关数学知识的本质特征,蕴涵着丰富的思想方法和创新意识.高三复习教学不能摒弃教材而完全依赖于某些教辅用书,要实现从真正意义上回归教材,以研究者的眼光,将一些看似简单、入口较低而实际背景深刻、内涵丰富的例题和习题进行适当改编、延伸和拓展,开展探究性教学,以提高学生的思维探究水平和综合解题能力,培养学生的创新意识,提升数学素养.

2.2 突出本质,注重核心,体现价值

“坐标法”作为解析几何的本质,渗透了函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化等重要思想.《普通高中数学课程标准(实验)》指出解析几何的核心内容包括几何图形的代数表示——点、直线、圆锥曲线的代数表示；常见几何图形、几何性质的代数表示；利用代数研究直线、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的关系与性质.其教育价值在于通过坐标法下几何与代数统一性的认识,帮助学生建立普遍联系的辩证观念,发展学生的运算求解能力,拓展学生分析、解决问题的能力.因此,高三数学复习教学,必须贯彻课标理念,突出数学本质,关注学科各分支的核心内容,渗透重要的思想方法,并充分挖掘其教育价值,才能争取较高的效益.

2.3 关注过程,重视探究

高考作为选拔性考试,着力于学生学习潜能与学科素养的考查,故经常设置一些开放性、探索性的试题,考查创新意识和探究精神.因此,高三教学要重视学生探究能力的培养,可以通过有目的地创设探究性问题情境,合理引导学生进行自主合作、交流探究活动,使学生亲身经历知识的发生与发展过程,体会蕴涵在其中的思想方法,领悟数学问题的本质,提高学生自主探究的能力,发展创新意识.

3 2个典型案例

(人教版数学选修2-1第41页例3)

①求椭圆的方程；

②过点P(2,1)的2条直线分别与椭圆Γ交于点A,C和B,D,若AB∥CD,求直线AB的斜率.

(2)设P(x0,y0)为椭圆Γ内一定点(不在坐标轴上),过点P的2条直线分别与椭圆Γ交于点A,C和B,D,且AB∥CD,类比第(1)小题的第②小题直接写出直线AB的斜率(不必证明).

(2014年福建省南平市高中毕业班适应性考试理科数学第19题)

图6

分析本题第(1)题中第②小题涉及2条动直线及它们与椭圆相交得到的4个动点,显得“变幻莫测”.常规思路通过联立直线与椭圆的方程难以奏效.命题人提供的解法是先设出4个动点的坐标,再利用向量共线进行转化,采用设而不求的思想求解,其中的整体代换及化归思想的技巧性较强,运算相当繁琐,难度较大.如果利用上述结论,则轻松获解.如图6,设点M,N分别是AB,CD的中点,则

由已知kAB=kCD,故kOM=kON,即点O,M,N共线.由平面几何知识易证点P也在MN上,故kOP=kOM,从而

案例2已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A,B.求证：OA⊥OB.

(人教版数学选修2-1第73页第6题)

问题1(探究原题的一般性结论)直线l过点(2p,0),且与抛物线y2=2px(其中p>0)交于点A,B(异于坐标原点O),求证：OA⊥OB.

问题2(探究原题的逆命题)已知直线l与抛物线y2=2px(其中p>0)交于点A,B(异于坐标原点O),且OA⊥OB,求证：直线l恒过点(2p,0).

问题3(进一步推广探究)已知点M是抛物线上任意的一个已知点,直线l与抛物线y2=2px(其中p>0)交于点A,B(异于点M),若MA⊥MB,试探究直线l是否恒过定点.

应用已知双曲线C的中心在原点且经过点D(2,0),m1={2,1},m2={2,-1}分别是2条渐近线的方向向量.

(1)求双曲线C的方程；

(3)双曲线C或抛物线y2=2px(其中p>0)是否也有类似第(2)小题的结论？若是,请选择一个曲线写出类似结论(不要求书写求解或证明过程).

(2014年福建省福州市高三模拟试卷第19题)

分析上述案例通过对2道教材例、习题进行纵向挖掘和横向拓展,推广得到一系列有用的一般性结论,不仅使一些高考模拟题轻松获解,而且开拓了学生的视野,激活了学生的思维,培养了学生的自主探究能力,提高了学生的创新意识.

4 结束语

数学教育家弗赖登塔尔和克莱因极力倡导教师通过对教材进行“再创造”激发学生的学习动机,使学生积极主动地参与数学知识的发现,亲身经历数学创造的过程.通过本文,笔者认为,高三教师要将教材视为复习用题的“根据地”,加强对教材例题、习题的整合归类、挖掘提升、变式拓展,以充分发挥其教育功能；研究高考试题,努力探寻考题在教材中的原型,实现高考试题与教材的无缝对接,彻底摒弃脱离教材的“题海战术”,实现高效的复习教学活动.

参 考 文 献

[1] 陈中峰.体现解析几何核心内容及教育价值的高考试题赏析[J].中学数学(高中版),2013(6)：92-95.

[2] 李锋.2013年高考福建理科数学第18题赏析[J].福建中学数学,2014(1/2)：17-20.

[3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.