椭圆中一个三角形最大面积问题

问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.

[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.

问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.

[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.

问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.

[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.