三类方程在微积分中若干典型应用

严 慧，徐立峰

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

三类方程在微积分中若干典型应用

严 慧，徐立峰

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

讨论以代数方程、微分方程、函数方法、差分方程为工具，解决微积分中的各类常见问题的典型方法，内容包括极限、定积分、重积分、变限积分、级数的展开与求和，辅助函数的构造等各方面的常见题型。在[1]中我们讨论了代数方程，微分方程的应用，在此我们将着重讨论函数方程，差分方程及微分方程在更广泛的问题中的典型应用.

微积分；微分方程；差分方程；函数方程

方程是我们解决各类实际问题最重要的工具．在中国古代，即已出现用不定方程求解“鸡兔同笼”等问题，15世纪意大利数学家以求解高次方程相互挑战而风靡一时．在现代，随机微分方程、偏微分方程、抽象空间中的微分方程等仍是现代数学中最具挑战性的领域．因而在我们的数学教学中，从最基础的教学开始，就注意训练学生逐步掌握好这一工具是我们数学教学中一个有意义的课题．方程体系庞大，理论深邃，但本文的目的是训练学生有效地掌握这一工具，并不涉及方程的理论，因而我们把所用到的知识限制在经济类高等数学知识范畴(即所谓数学三)，例如高教版中国人民大学朱来义主编的《微积分》．

本文的写法：用各类实例介绍用建立方程的技巧解决微积分中的各类问题，如极限、定积分、二重积分、变限积分、数项级数求和、幂级数求和函数、函数的幂级数展开、中值问题中辅助函数的构造等．以使学生在尽可能广泛的知识领域中受到训练，使学生在各种形式不同的问题中，有意识地自觉运用各类方程这一数学工具．为说明方法的代表性，我们大部分例子选自硕士研究生入学考试试题，我们将予以标注，例如“99年数学三”，即指1999年全国硕士研究生入学考试数学三试题．

由于本文的目的在于增强学生分析问题的能力，因此我们重在对解题思路的分析，而略去了解题的过程．

1 实例与分析

在文[1]中我们讨论了代数方程、微分方程的应用．本文是[1]的继续，将讨论函数方程、差分方程的应用，然后讨论微分方程在中值问题、函数零点唯一性问题、某些极限问题中构造辅助函数方面的应用．

首先我们讨论幂级数中方程方法的应用，实际上在高中数学中已有这样的技巧，但那是将问题转化为代数方程，而在[1]中我们将问题转化为一个微分方程，而在有些场合我们则需要构建函数方程或差分方程．

f(x)=(1+qx)(1+q2x)……(1+qnx)…

(1)

(2)

a0+(a1q+a0q)x+(a2q2+a1q2)x2+…+(anqn+an-1qn)xn+…

(3)

对比系数得anqn+an-1qn=an，于是得到递推式

(4)

微分方程的离散化即成为差分方程，如果说积分和函数的极限问题常将微分方程作为工具的话，那么作为类比级数，数列的许多问题常以差分方程作为工具．但遗憾的是尽管差分方程已纳入教学内容，但这方面不仅是学生的短板，在我们的教学与参考书籍中这方面的论述也很少．

分析 这是课本[1]中原题，课本有如下提示：

这种方法需较高的技巧。如将它转化为一个差分方程的问题，则从思想方法上看，会简单许多。借助裂项法的思路构造差分方程：

(5)

递推数列极限的证明与计算是微积分中的一类典型问题，而递推数列本身就是一类差分方程，差分方程的求解方法自然也就成为解决这类问题的工具．

微分中值定理被称为微分学基本定理，微分学大部分应用直接或间接地依赖于中值定理，因此中值定理的应用技巧被视为微积分教学与各类考试的重点也就是理所应当的了．而中值定理应用中的主要技巧就是辅助函数的构造.微分方程则是构造辅助基本的工具．

问题(2)的关键在于构造辅助函数，使f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1 的零点问题转化为某一个函数F(x) 的导函数的零点问题．由结论f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1 =0 ，可构造微分方程f′(x)-λf(x)=1-λx，由求解公式得f(x)=eλx(xe-λx+c)(c为任意常数)分离常数c=[f(x)-x]e-λx，故构造辅助函数F(x)=e-λx[f(x)-x]，由于F(0)=0,F(η)=0 在[0,η] 上使用罗尔定理，存在ξ∈(0,η) 使F′(ξ)=0，即e-λξ[f′(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)-1]=0，但e-λξ≠0，故f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1 ．

辅助函数常常能使条件或结论更为集中，因此例5中构造辅助函数的方法不仅适用于中值问题，也适合于微积分中的其它各类问题．

例6 设f(x) 在R上可导，且f(x)+f′(x)>0 .试证：f(x)使至多只有一个零点．

分析 通常的思路是希望证得f′(x)>0 ，但这并不容易从条件中获得，考虑构造辅助函数使条件更为集中．

先构造微分方程f(x)+f′(x)=0 ，解得f(x)=ce-x分离常量，c=exf(x)

故构造辅助函数F(x)=exf(x) ，由条件F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0，故F(x)严格单调增加，F(x)至多只有一个零点，但ex无零点，于是f(x)至多只有一个零点．

2 结束语

由于篇幅所限，微积分又涉及如此庞大的体系，本文中的内容仅是九牛一毛而已，我们做这一专题讨论是希望更进一步丰富课堂教学的内容，使学生能主动自觉地运用方程这一工具解决各种数学问题，我们相信经过不断地研究、总结必能大大提高学生解题能力．并为今后运用它解决现实世界中各种实际问题打下了坚实的基础，而这也正是我们数学教学的目的所在．

在第1部分中，我们使用了代数方程、微积分方程、函数方程、差分方程作为我们的解题工具，在应用中应仔细研究，捉摸各种应用场合的特点，作为本文的结束，我们再给出一个反例，其错误原因就在于混淆了不同类的方程，这也是初学者易犯的一个典型错误．

(6)

方程(6)两端对c求导得2e2c=ce2c，故c=2 ．

上述解法的错误就在于把(6)当作微分方程(积分方程)而(6)实际上是一个代数方程，其中c并不是自变量，而是一个特定的数值，不能两端求导，否则就如x=1 两端求导而得到 1=0这样荒谬的结果了．

[1]严慧.方程在微积分中的应用[J]．湖北师范学院学报(自然科学版)，2011，31(3):115～118.

[2]朱来义.微积分(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2009.

[3]同济大学数学系.高等数学(第五版)[M]．北京：高等教育出版社，2002.

[4]胡适耕，姚云飞.数学分析——定理·问题·方法[M]．北京：科学出版社，2007.

[5]华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)[M]．北京：高等教育出版社，2001.

[6]李永乐，刘西垣，袁荫棠.数学(三)历年试题解析[M]．北京：国家行政学院出版社，2009.

Ontheapplicationoffunctionequations,differenceequationsanddifferentialequationsindifferential-integralcalculus

YAN Hui, XU Li-feng

(Collage of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

In this paper, we discuss the methods to solve the problems in differential-integral calculus by the using of algebraic equations. The content include the limit, definite integral, multiple integral, variable limit of integral, series and the construction of auxiliary function.

differential-integral calculus; differential equation; difference equation; function equation

2014—04—03

湖北省教育厅资助项目(Q20122202)

严慧，女，湖北黄梅人，讲师，硕士，主要从事概率论与数理统计研究.

O172.2

A

1009-2714(2014)03- 0100- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.023