电压激励的压电层合悬臂梁横向振动分析

叶文强，薛春霞

(中北大学 理学院，太原 030051)

压电陶瓷的逆压电效应可以将电能转化为机械能，利用这一原理设计的压电驱动器具有结构紧凑、响应快、输出力大、无电磁干扰等特点。以压电陶瓷-金属-压电陶瓷层合结构组成的双晶弯曲驱动器具有输出位移量大、承载力高，且断裂韧性高，不易损坏等优点，因此其得到了广泛的应用。目前国内外对压电驱动器进行了大量的研究，在考虑压电驱动器的非线性方面，Richter等[1]研究了强电作用下的非线性压电效应，李凤明等[2]分析了非线性阻尼对参数激励压电梁的振动稳定性的影响。更多的学者是对压电驱动器的振动控制的研究，Gaudenzi等[3]建立表面双侧对称布置压电陶瓷驱动器与传感器的悬臂梁有限元模型，采用模态控制法对梁的前两阶振动进行主动控制研究；董兴建等[4]由Hamilton变分原理建立压电层合梁的有限元模型，基于鲁棒极点配置算法对降阶后的低阶系统设计状态反馈，实现对原系统的主动控制；Kapuria等[5]基于电势的二次变分的layerwise理论建立梁的有限元模型实现对智能梁的主动控制；Kumar等[6]由Euler-Bernoulli 梁理论建立压电梁的有限元模型，使用LQR控制模型对柔性梁上的压电陶瓷驱动器与传感器进行优化配置。此外有学者对压电驱动元件的驱动性能及局部应变机理进行了研究，丁根芳等[7]借助Hamilton原理建立了压电层合结构的有限元方程，分析了在三种边界条件下不同几何参数和载荷参数对梁驱动和传感性能的影响；杜立群等[8]提出了考虑粘贴层影响的智能结构梁分布力模型，得到了应变分布假设对压电驱动器驱动性能影响的规律；吴义鹏等[9]研究了压电驱动元件局部应变的机理,验证了局部应变效应的存在。

鉴于目前尚未有文献涉及由电压激励的双晶驱动器的横向振动响应，本文通过假设等截面对称层合悬臂梁的振动位移函数，运用能量法写出了该结构在电场激励下的动力学振动方程，然后进行了振动响应分析，与ANSYS软件仿真结果的对比，说明了本文结论的可行性与有效性，在此基础上分析了阻尼比对振动响应的影响及振动时系统最大应力的变化规律。所得结论对工程实际有一定的理论参考意义。

1 建立压电层叠悬臂梁的横向振动微分方程

本文研究的对象是基体材料上下表面均粘有压电层的等截面弹性悬臂梁( 如图1所示)。基体材料45#钢的几何参数：长l宽w厚hm；压电层几何参数：压电陶瓷长l宽w厚hp，即压电层铺满钢梁表面。梁的上层压电片沿z轴正向垂直极化, 下层压电片沿z轴反向垂直极化。假设沿z轴负方向施加变化的激振电场E3，则由于压电效应压电层叠悬臂梁做横向强迫振动。

上层压电层的压电方程[10]为：

(1)

下层压电层的压电方程为：

(2)

图1 压电层合悬臂梁模型

用z(x,t)表示坐标为x的截面中性轴在t时刻的横向位移，假设：

(3)

(4)

将式(3)代入到式(4)，化简后得到动能：

(5)

式中:

i,j=1,2,…,n

(6)

上下两层压电片总的应变能(包括弹性势能和电场能)为Up(t)，其表达式为：

Up(t)=Up1(t)+Up2(t)

(7)

(8)

(9)

式中:Up1(t)、Up2(t)分别表示上下两层压电片的应变能，V1、V2分别表示上下两层压电片的体积。为求Up1(t)，在上层压电片取一微小体积dV为研究对象。结合式(1)则在该微小体积上有

(10)

在压电层合悬臂梁横向弯曲时有：

(11)

其中：z为到中性层的z向距离，R为横向弯曲时的曲率半径，曲率k为：

(12)

将式(11)代入式(1)第二个方程并变形得到：

(13)

由式(8)～(13)可得到：

(14)

同理可以求得Up2(t)

(15)

可知Up1(t)=Up2(t)，将式(14)、式(15)代入式(7)，得到：

(16)

由式(6)、式(16)得到压电层合悬臂梁总的应变能U(t)为

U(t)=Up(t)+Um(t)=

(17)

将式(3)代入式(17)，得到：

(18)

其中:

当在压电层极化表面施加交变电压V(t)=hpE3时，则压电层合悬臂梁上形成变化的电场E3，由于压电效应，梁会发生弯曲变形产生弯矩Me(t)[11]：

Me(t)=c·V(t)

(19)

其中Ep为压电陶瓷的杨氏模量，

(20)

根据拉格朗日方程：

(21)

由式(5)、(18)得到拉格朗日函数L=T-U，得到：

(22)

(23)

求解微分方程组，在得到qi(t),i=1,2,…,n后，由式(3)即可得到压电梁上任一点在t时刻的横向位移z(x,t)，横向速度zt(x,t)，横向加速度ztt(x,t)。

2 算例仿真及分析

取满足悬臂梁边界条件的振型函数为：

φi(x)=-cosβix+coshβix-

i=1,2,…,n

取方程的cosβlcoshβl=-1前三个根为β1l=1.875,β2l=4.694,β3l=7.855。本文的压电陶瓷用PZT-5H ,基体材料选用45#钢，它们参数[10]如表1。

2.1 模态分析

为研究压电悬臂梁的横向固有频率与长度的关系，探讨本文理论的适用范围，现对不同长度下的梁进行模态分析。当进行模态分析时，压电层合悬臂梁的自由振动微分方程为：

(24)

表1 PZT-5H 与基体材料参数

本文采用ANSYS 12.0对压电层合悬臂梁进行建模与仿真，由模态分析得出梁横向弯曲振动下的固有频率及振型。压电分析是一种结构-电场耦合分析，而ANSYS有限元软件具有强大的耦合场分析功能。压电分析中可使用的耦合单元有SOLID5、PLANE13和SOLID98单元。 本文选用SOLID5单元进行压电耦合场分析，SOLID5是八节点六面体单元，每个节点有六个自由度，在分析时忽略温度和磁场自由度。基体材料选用SOLID45单元，压电陶瓷与基体之间采用粘接处理，用映射方法划分网格，在施加约束后，用Block Lanczos法进行模态分析,该模态方法计算精度高，而且在有限元模型中允许有质量较差的实体单元，因此在工程中常用来提取具有对称特征的大模型的多阶模态。

误差原因分析：ANSYS软件基于有限元理论考虑了表层面外剪切及内应力对结果的影响，而本文理论计算进行了相应简化。前3阶横向弯曲固有频率计算值fr和仿真值fa的最大误差只有2.7%，横向弯曲固有频率计算值与通过有限元分析值基本吻合，初步说明了本文理论的可靠性。

表2 前3阶横向弯曲固有频率对比结果

从表2知，当长度l取某一定值时，激发高阶振动的能量减弱，且高阶振动的节点数多，振动不容易被激发，所以基频值最小。当长度l逐渐增加时，各阶固有频率相应的减小。当长度增加时，基频相对误差也逐渐减小，而且第二、三阶横向固有频率的相对误差不超过1 %，表明本文理论对细长梁更精确。

2.2 响应分析

2.2.1 谐响应分析

在模态分析的基础上对hm=0.2 mm、hp=1 mm、w=5 mm、l=98 mm的压电层合悬臂梁采用完全法进行ANSYS谐响应仿真分析。取材料阻尼比ζ=0.01，相应的比例阻尼系数α0=10、α1=4.7×10-6，在压电材料表面施加220 V的正弦电压作为激励载荷，在70 Hz到120 Hz激励频率范围内取50个子载荷步，采用Sparse solver求解器进行求解，得到压电层合悬臂梁关于基频的幅频曲线和相频曲线，将其与本文理论得到的幅频曲线和相频曲线进行对比，结果分别如图2(a)、2(b)所示。

图2 幅频曲线和相频曲线

通过图2知，由ANSYS仿真得到的幅频曲线和相频曲线与本文得到的的曲线几乎完全重合，进一步验证了本文得到的由电压激励的强迫振动微分方程是可靠与有效的。当电压频率为远小于基频91 Hz时，压电悬臂梁横向振幅很小，横向位移与激振电压在相位上几乎相同；当电压频率即将等于基频时，梁的横向振幅急剧增加，横向位移比激振电压在相位上滞后90°，即达到共振状态；随着激励电压的频率继续增大，离开共振区的梁的横向振幅迅速减小，此时横向位移比激振电压在相位上滞后180°。当达到共振状态时，结构的位移响应幅值急剧增加，但并未出现无限放大现象，因为考虑了阻尼耗能性能，对响应峰值具有抑制作用。故阻尼设置能较好地抑制结构的振动响应。

2.2.2 阻尼对横向位移的响应分析

为了分析阻尼对横向振动位移的影响，在压电材料表面施加220 V的不同频率的激励电压，得到了不同阻尼比下的压电悬臂梁自由端横向位移的时程曲线，如图3所示。

图3(a)表示激励电压的频率远小于共振频率时，虽然有阻尼的横向位移比无阻尼时小些，此时梁的横向位移很小，阻尼的大小对位移的抑制作用并不明显；图3(b)表示激励电压的频率接近共振频率时，无阻尼时梁的横向位移时程曲线出现拍的现象，且持续存在，ζ=0.01时，在初始时间段，也出现了拍的现象，但拍的振幅逐渐减小并消失，过渡到稳定振动状态，ζ=0.1时，压电梁并未出现拍的现象，其横向位移逐渐增加，一直到位移振幅不变，振动频率等于激励频率的稳定振动状态。表明阻尼的大小对拍的形成及持续时间有一定的影响；图3(c)表示共振时，无阻尼的横向位移随时间无限增加，有阻尼时压电梁的横向位移也是逐渐增加，最后到稳态振动状态。表明阻尼大小对横向位移的抑制作用非常明显，阻尼越大，稳态时的响应幅值越小。

2.2.3 速度、加速度及应力的响应分析

用ANSYS对压电层合悬臂梁进行瞬态响应分析，采用完全法，仍取材料阻尼比ζ=0.01，压电层表面施加220 V频率为30 Hz的正弦激励电压，载荷按照跃阶方式施加，每个载荷步0.001 67 s,共300个载荷步，得到压电层合悬臂梁自由端横向速度、横向加速度及梁内最大应力在0.5 s内的时程曲线如图4(a)～(c)，图4(d)表示压电梁振动时最大应力出现的位置。

图3 阻尼对梁横向振动的影响

由图4(a)、4(b)可知，横向速度与横向加速度的时程曲线在前0.4 s内很不规则，但总体上其振幅是逐渐减小并趋于平稳。因为该时间段为强迫振动的过渡阶段，在该阶段梁的振动比较复杂，是无激励时的自由振动、有激励的自由伴随振动和稳态强迫振动三种振动形式的叠加，由于阻尼的存在，自由振动及自由伴随振动的振幅都要随时间进行衰减，直至完全消失，最后只剩下稳态振动。在0.4 s到0.5s的稳态振动阶段，速度和加速度的时程曲线为振幅不变的简谐曲线，其振动频率为电压的激励频率。

压电悬臂梁在做强迫振动时，其最大应力位置出现在靠近固定端的压电陶瓷与基体材料的粘接处，如图4(d)所示，由于截面的变化及材料的属性不同，靠近根部的粘接层往往会出现应力集中。图4(c)为最大应力处节点10 747的von misers应力时程曲线，一个振动周期内，最大应力出现2次，最大应力接近20 MPa，最小应力接近0.4 MPa。梁横向位移越大，内部应力值越大，梁在平衡位置时，应力最小。因此在进行压电振子的设计时应重点考虑减小根部粘接位置处的应力集中，及共振时的应力值，以防止内应力过大造成压电振子的损坏。

图4 速度、加速度、最大von misers应力曲线及最大应力位置图

3 结 论

本文对简谐电压激励下压电层合悬臂梁的横向振动进行了分析，结论如下：

(1) 由能量法得到了等截面压电层合悬臂梁在激振电压下的横向强迫振动微分方程，经模态分析及谐响应分析，将本文方法所得结果与ANSYS仿真结果对比，说明了本文得到的动力学方程的有效性。

(2) 当激励电压的频率等于压电梁的固有频率时，达到共振状态，梁的横向振幅急剧增加，横向位移比激振电压在相位上滞后90°。

(3) 阻尼的大小对拍的形成及持续时间有一定的影响；且阻尼对横向位移的抑制作用非常明显，阻尼越大，稳态时的响应幅值越小。

(4) 振动时最大应力位置出现在靠近固定端的压电陶瓷与基体材料的粘接处，梁横向位移越大，应力值越大，共振时应力值最大。

本文所得结论为研究周期电压激励及随机电压激励下的压电悬臂梁的响应问题及研究压电振子的优化、安全设计提供一定的理论参考。

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