自主探究,促进层次理解

许怀珍

教学片断一：铺垫理解

师（出示■、■、■）：怎么理解这些分数的意义？怎么用除法算式来表示它们的意义？

生１：把单位“１”平均分为３份，表示这样的１份就是■，用除法来表示就是１÷３，除法的结果可以用小数来表示。

……

师：几个几分之一就表示成几分之几。

师（出示■米、■吨）：怎么理解这两个分数的意义？和之前的分数比有什么区别？

生２：这两个分数表示的是数量，而不是比率。■米表示１米的■，■吨表示１吨的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（吨），也就是７个■吨是■吨。

师生（小结）：１米、１小时、１吨的几分之几，可以直接表示成几分之几米、几分之几小时或几分之几吨等。

教学片断二：层次探究

师：将１个饼子平均分给４个人，你认为每个人能分到几分之几？分到几个？如果是同样的３个饼子呢？

生１：把１个饼子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■个饼子。

生２：当有３个饼子时，将每个饼子平均分成四份，这样每人可分到１÷４×３＝■（个）饼子。

生３：３个饼子的■，就是一个饼子的■。

师：如果将３个饼子平均分给５个人，你认为每人能分到几分之几？分到几个？

生4：每人可以分到１个饼子的■，那么分３个饼子，每人能分到■个饼子。

师：如果是４个饼子平均分给５个人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１个饼子的■。

师：如果将５个饼子等分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给ｂ个人，那么每人分到多少个饼子呢？你怎么想的？（生答略）

师：ａ÷ｂ＝■，说明ａ个饼子等分ｂ份，就是１个饼子等分■份，也就是■个。那么，分数和除法算式之间有什么关系？

学生观察后发现：除法的被除数相当于分子，除数相当于分母，而分数线则相当于除号，即被除数÷除数＝■，用字母表示为ａ÷ｂ＝■。

此时学生理解不能将整体１等分为０份，由此确定了数域范围“分数的分子、分母不能为零，除数不能为零”，那么得到的结果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根据学生反馈情况进行统计和调查，结果显示学生对分数与除法这种程序性知识理解的四个水平层次有如下分布情况：其中全部学生都能够达到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的学生达到了水平二的理解（即能够由动手操作来进行理解）；针对水平三和水平四的理解（即高水平理解），分别有７７％和５９％的学生达到。

１．活动操作，促进直观理解

在分数与除法学习中，学生容易出现量和率的混淆，于是我让学生从活动操作中理解一个饼子的几分之几就是几分之几个，并进行了铺垫教学。如教学片断一中从旧知入手进行铺垫，引导学生理解分数的意义，其目的是为了拓展学生的思维空间，引导他们克服真分数的思维定式。教学片断二中，我让学生抓住几个饼子的几分之一与一个饼子的几分之几之间的关系进行分析讨论，强化学生对分数概念中份数定义与商定义之间的联系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象积累能够有效促进对抽象知识的理解。学生对一个饼子的几分之一容易理解，但对几个饼子的几分之一无法建立抽象认知，此时就要从丰富的表象操作来予以引导。为此，我引导学生一步步巩固强化，从直观操作到确认分几个饼子就有几个几分之一，促进他们抽象思维的提升。

３．数字推演，发展形式理解

数字推演到形式理解是理解中的较高层次，教师要尽可能地引导学生提升到这个层次。从后测的数据分析可以看出，这个高层次的理解水平并非学生无可企及，也并非所有学生都可能达到。为此，我紧紧围绕直观的活动操作和表象操作引导学生进行活动经验积累，使学生能够顺利地过渡到数字推演这个环节，直到理解并得到诸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（责编杜华）

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教学片断一：铺垫理解

师（出示■、■、■）：怎么理解这些分数的意义？怎么用除法算式来表示它们的意义？

生１：把单位“１”平均分为３份，表示这样的１份就是■，用除法来表示就是１÷３，除法的结果可以用小数来表示。

……

师：几个几分之一就表示成几分之几。

师（出示■米、■吨）：怎么理解这两个分数的意义？和之前的分数比有什么区别？

生２：这两个分数表示的是数量，而不是比率。■米表示１米的■，■吨表示１吨的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（吨），也就是７个■吨是■吨。

师生（小结）：１米、１小时、１吨的几分之几，可以直接表示成几分之几米、几分之几小时或几分之几吨等。

教学片断二：层次探究

师：将１个饼子平均分给４个人，你认为每个人能分到几分之几？分到几个？如果是同样的３个饼子呢？

生１：把１个饼子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■个饼子。

生２：当有３个饼子时，将每个饼子平均分成四份，这样每人可分到１÷４×３＝■（个）饼子。

生３：３个饼子的■，就是一个饼子的■。

师：如果将３个饼子平均分给５个人，你认为每人能分到几分之几？分到几个？

生4：每人可以分到１个饼子的■，那么分３个饼子，每人能分到■个饼子。

师：如果是４个饼子平均分给５个人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１个饼子的■。

师：如果将５个饼子等分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给ｂ个人，那么每人分到多少个饼子呢？你怎么想的？（生答略）

师：ａ÷ｂ＝■，说明ａ个饼子等分ｂ份，就是１个饼子等分■份，也就是■个。那么，分数和除法算式之间有什么关系？

学生观察后发现：除法的被除数相当于分子，除数相当于分母，而分数线则相当于除号，即被除数÷除数＝■，用字母表示为ａ÷ｂ＝■。

此时学生理解不能将整体１等分为０份，由此确定了数域范围“分数的分子、分母不能为零，除数不能为零”，那么得到的结果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根据学生反馈情况进行统计和调查，结果显示学生对分数与除法这种程序性知识理解的四个水平层次有如下分布情况：其中全部学生都能够达到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的学生达到了水平二的理解（即能够由动手操作来进行理解）；针对水平三和水平四的理解（即高水平理解），分别有７７％和５９％的学生达到。

１．活动操作，促进直观理解

在分数与除法学习中，学生容易出现量和率的混淆，于是我让学生从活动操作中理解一个饼子的几分之几就是几分之几个，并进行了铺垫教学。如教学片断一中从旧知入手进行铺垫，引导学生理解分数的意义，其目的是为了拓展学生的思维空间，引导他们克服真分数的思维定式。教学片断二中，我让学生抓住几个饼子的几分之一与一个饼子的几分之几之间的关系进行分析讨论，强化学生对分数概念中份数定义与商定义之间的联系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象积累能够有效促进对抽象知识的理解。学生对一个饼子的几分之一容易理解，但对几个饼子的几分之一无法建立抽象认知，此时就要从丰富的表象操作来予以引导。为此，我引导学生一步步巩固强化，从直观操作到确认分几个饼子就有几个几分之一，促进他们抽象思维的提升。

３．数字推演，发展形式理解

数字推演到形式理解是理解中的较高层次，教师要尽可能地引导学生提升到这个层次。从后测的数据分析可以看出，这个高层次的理解水平并非学生无可企及，也并非所有学生都可能达到。为此，我紧紧围绕直观的活动操作和表象操作引导学生进行活动经验积累，使学生能够顺利地过渡到数字推演这个环节，直到理解并得到诸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（责编杜华）

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教学片断一：铺垫理解

师（出示■、■、■）：怎么理解这些分数的意义？怎么用除法算式来表示它们的意义？

生１：把单位“１”平均分为３份，表示这样的１份就是■，用除法来表示就是１÷３，除法的结果可以用小数来表示。

……

师：几个几分之一就表示成几分之几。

师（出示■米、■吨）：怎么理解这两个分数的意义？和之前的分数比有什么区别？

生２：这两个分数表示的是数量，而不是比率。■米表示１米的■，■吨表示１吨的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（吨），也就是７个■吨是■吨。

师生（小结）：１米、１小时、１吨的几分之几，可以直接表示成几分之几米、几分之几小时或几分之几吨等。

教学片断二：层次探究

师：将１个饼子平均分给４个人，你认为每个人能分到几分之几？分到几个？如果是同样的３个饼子呢？

生１：把１个饼子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■个饼子。

生２：当有３个饼子时，将每个饼子平均分成四份，这样每人可分到１÷４×３＝■（个）饼子。

生３：３个饼子的■，就是一个饼子的■。

师：如果将３个饼子平均分给５个人，你认为每人能分到几分之几？分到几个？

生4：每人可以分到１个饼子的■，那么分３个饼子，每人能分到■个饼子。

师：如果是４个饼子平均分给５个人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１个饼子的■。

师：如果将５个饼子等分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给５个人呢？如果是将ａ个饼子平均分给ｂ个人，那么每人分到多少个饼子呢？你怎么想的？（生答略）

师：ａ÷ｂ＝■，说明ａ个饼子等分ｂ份，就是１个饼子等分■份，也就是■个。那么，分数和除法算式之间有什么关系？

学生观察后发现：除法的被除数相当于分子，除数相当于分母，而分数线则相当于除号，即被除数÷除数＝■，用字母表示为ａ÷ｂ＝■。

此时学生理解不能将整体１等分为０份，由此确定了数域范围“分数的分子、分母不能为零，除数不能为零”，那么得到的结果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根据学生反馈情况进行统计和调查，结果显示学生对分数与除法这种程序性知识理解的四个水平层次有如下分布情况：其中全部学生都能够达到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的学生达到了水平二的理解（即能够由动手操作来进行理解）；针对水平三和水平四的理解（即高水平理解），分别有７７％和５９％的学生达到。

１．活动操作，促进直观理解

在分数与除法学习中，学生容易出现量和率的混淆，于是我让学生从活动操作中理解一个饼子的几分之几就是几分之几个，并进行了铺垫教学。如教学片断一中从旧知入手进行铺垫，引导学生理解分数的意义，其目的是为了拓展学生的思维空间，引导他们克服真分数的思维定式。教学片断二中，我让学生抓住几个饼子的几分之一与一个饼子的几分之几之间的关系进行分析讨论，强化学生对分数概念中份数定义与商定义之间的联系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象积累能够有效促进对抽象知识的理解。学生对一个饼子的几分之一容易理解，但对几个饼子的几分之一无法建立抽象认知，此时就要从丰富的表象操作来予以引导。为此，我引导学生一步步巩固强化，从直观操作到确认分几个饼子就有几个几分之一，促进他们抽象思维的提升。

３．数字推演，发展形式理解

数字推演到形式理解是理解中的较高层次，教师要尽可能地引导学生提升到这个层次。从后测的数据分析可以看出，这个高层次的理解水平并非学生无可企及，也并非所有学生都可能达到。为此，我紧紧围绕直观的活动操作和表象操作引导学生进行活动经验积累，使学生能够顺利地过渡到数字推演这个环节，直到理解并得到诸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（责编杜华）

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