谱负MAP波动理论的一个注记

张超权　唐胜达　秦永松

摘要谱负MAP是应用概率论领域的重要内容之一.利用Asmussen-kella鞅推广了谱负MAP（X，J）的波动理论，给出谱负MAP在与之独立且服从Erlang分布的随机时刻点上水平与极值的联合变换所满足的等式，进而由Erlangization方法，给出谱负MAP（X，J）的水平与极值的联合变换的瞬时趋近算法.

关键词谱负MAP；波动理论；Erlangization方法；趋近计算式

中图分类号O211.5文献标识码A文章编号1000-2537（2014）02-0078-06

Levy过程是应用概率领域内的重要随机过程之一，但是Levy过程的平稳性使其在实际应用中受到一定的局限性.在实际建模中，过程会因长时间的演变、外界随机因素的干扰等原因而不再具有平稳性，如价格的季节性，行为的模式化等.由此，可将Levy过程推广为机制转换模型（regime-switching model）：连续时间的Markov加过程（Markov additive process），简称MAP，这是Levy过程的一个自然推广，MAP已成为随机复杂系统的重要建模工具之一，它已被广泛应用于网络通讯、存储论、交通管理、风险过程、金融工程等领域[1-2].

许多学者对MAP的相关性质作了深入的研究，Cinlar，Ney，Asmussen [3-5]给出了MAP的基本结构及性质，Ivanovs[6]给出了MAP的指数矩阵特征值的性质，DAuria等[7]给出了MAP首达时过程的转移率矩阵的结构，并将其应用于单边反射MAP及双边MMBM[8]，Breuer[9]给出了首达时过程的转移率矩阵的迭代计算方法，Ivanovs[10]给出了MAP的scale 矩阵，Kypianou等[11]对MAP波动理论进行了研究.

Avram[12]在研究风险过程中得出破产时刻的Laplace变换等价于指数随机时间内的破产概率，Asmussen等[13]采用fluid embedding方法将这一结果推广并得出服从Erlang（n，q）分布的随机时刻内的破产概率，当给定分布期望不变时，随着分布的阶数趋于无穷，这一随机时刻趋于它的期望定值，利用这一方法，Asmussen等得到了在有限时刻内破产的趋近算法，且这一算法具有良好的稳定性且收敛速度快，这一方法称为Erlangization方法；Stanford[14]将这一方法推广为PH分布情形；Ramaswami等[15]将这一方法应用于随机流体理论，用于各种有限时刻内的各种首达时的研究，Woolford等[16]将这一方法用于分析山火的控制研究.

本文基于上述研究，主要给出谱负MAP（X，J）的水平与极值的联合变换的瞬时趋近算法.这一结果在实际数值计算中具有十分重要的意义，本文利用Asmussen-kella鞅，推广了MAP的波动理论，将MAP在指数时刻的相关量推广至Erlang分布的随机时刻上，继而由Erlangization方法，给定任意时刻时的MAP相应量的趋近计算式.从而解决了谱负MAP（X，J）瞬时波动理论的瞬时时间点上的计算问题.

参考文献：

[1]ASMUSSEN S. Applied probability and queues[M]. 2nd Ed. Berlin：Springer， 2003.

[2]PRABHU N. Stochastic storage processes—queues， insurance risk， dams， and data communication[M].New York：Springer-Verlag， 1998.

[3]INLAR E. Markov additive processes Ⅰ[J]. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete， 1972，24（2）：85-93.

[4]INLAR E. Markov additive processes Ⅱ[J]. Probability Theory Related Fields，1972，24（2）：95-121.

[5]NEY P， NUMMELIN E. Markov additive processes Ⅰ. Eigenvalue properties and limit theorems[J]. Ann Probab， 1987，15（2）：561-592.

[6]IVANOVS J， BOXMA O， MANDJES M. Singularities of the matrix exponent of a Markov additive process with one-sided jumps[J]. Stochastic Pro Appl， 2010，120（9）：1776-1794.

[7]DAURIA B， IVANOVS J， KELLA O， et al. First passage of a Markov additive process and generalized Jordan chains[J]. J Appl Probab， 2010，47（4）：1048-1057.

[8]DAURIA B， IVANOVS J， KELLA O， et al. Two-sided reflection of Markovmodulated Brownian motion[J]. Stochastic Models， 2012， 28（1）：316-332.

[9]BREUER L. First passage times for Markov additive processes with positive jumps of phase type[J]. J Appl Probability， 2008，45（3）：779-799.

[10]IVANOVS J. PALMOWSKI Z. Occupation densities in solving exit problems for Markov additive processes and their reflections[J]. Stochastic Processes Appl， 2012，122（9）：3342-3360.

[11]KYPRIANOU A， PALMOWSKI Z. Fluctuations of spectrally negative Markov additive processes[C]//Séminaire de Probabilités XL[M]. Springer： Berlin， 2008，121-135.

[12]AVRAM F， USABEL M. Finite time ruin probabilities of processes with phase type jumps[J]. Insurance， Math Economics， 2003， 32（3）：371-377.

[13]ASMUSSEN S， AVRAM F， USABEL M. Erlangian approximations for finite horizon ruin probabilities[J].Astin Bull， 2002，32（2）：267-281.

[14]STANFORD D A， AVRAM F， BADESCU A B， et al. Phase-type approximations to finite-time ruin probabilities in the Sparre Andersen and stationary renewal risk models[J]. Astin Bull， 2005，35（1）：131-144.

[15]RAMASWAMI V， DOUGLAS G， WOOLFORD D， et al. The erlangization method for Markovian fluid flows [J]. Ann Oper Res， 2008，160（1）：215-225.

[16]STANFORD D L， ATOUCHE G， WOOLFORD D， et al. Erlangized fluid queues with application to uncontrolled fire perimeter[J]. Stochastic Models， 2005，21（23）：631-642.

[17]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform with application to approximation[J]. Bell Syst Tech J， 1978，57（3）：669-710.

[18]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform[J]. Bell Syst Tech J， 1982，61（8）：1995-2002.

[19]ASMUSSEN S， KELLA O. A multi-dimensional martingale for Markov additive processes and its applications[J]. Adv Appl Probab， 2000，32（2）：376-393.

（编辑沈小玲）

[10]IVANOVS J. PALMOWSKI Z. Occupation densities in solving exit problems for Markov additive processes and their reflections[J]. Stochastic Processes Appl， 2012，122（9）：3342-3360.

[11]KYPRIANOU A， PALMOWSKI Z. Fluctuations of spectrally negative Markov additive processes[C]//Séminaire de Probabilités XL[M]. Springer： Berlin， 2008，121-135.

[12]AVRAM F， USABEL M. Finite time ruin probabilities of processes with phase type jumps[J]. Insurance， Math Economics， 2003， 32（3）：371-377.

[13]ASMUSSEN S， AVRAM F， USABEL M. Erlangian approximations for finite horizon ruin probabilities[J].Astin Bull， 2002，32（2）：267-281.

[14]STANFORD D A， AVRAM F， BADESCU A B， et al. Phase-type approximations to finite-time ruin probabilities in the Sparre Andersen and stationary renewal risk models[J]. Astin Bull， 2005，35（1）：131-144.

[15]RAMASWAMI V， DOUGLAS G， WOOLFORD D， et al. The erlangization method for Markovian fluid flows [J]. Ann Oper Res， 2008，160（1）：215-225.

[16]STANFORD D L， ATOUCHE G， WOOLFORD D， et al. Erlangized fluid queues with application to uncontrolled fire perimeter[J]. Stochastic Models， 2005，21（23）：631-642.

[17]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform with application to approximation[J]. Bell Syst Tech J， 1978，57（3）：669-710.

[18]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform[J]. Bell Syst Tech J， 1982，61（8）：1995-2002.

[19]ASMUSSEN S， KELLA O. A multi-dimensional martingale for Markov additive processes and its applications[J]. Adv Appl Probab， 2000，32（2）：376-393.

（编辑沈小玲）

[10]IVANOVS J. PALMOWSKI Z. Occupation densities in solving exit problems for Markov additive processes and their reflections[J]. Stochastic Processes Appl， 2012，122（9）：3342-3360.

[11]KYPRIANOU A， PALMOWSKI Z. Fluctuations of spectrally negative Markov additive processes[C]//Séminaire de Probabilités XL[M]. Springer： Berlin， 2008，121-135.

[12]AVRAM F， USABEL M. Finite time ruin probabilities of processes with phase type jumps[J]. Insurance， Math Economics， 2003， 32（3）：371-377.

[13]ASMUSSEN S， AVRAM F， USABEL M. Erlangian approximations for finite horizon ruin probabilities[J].Astin Bull， 2002，32（2）：267-281.

[14]STANFORD D A， AVRAM F， BADESCU A B， et al. Phase-type approximations to finite-time ruin probabilities in the Sparre Andersen and stationary renewal risk models[J]. Astin Bull， 2005，35（1）：131-144.

[15]RAMASWAMI V， DOUGLAS G， WOOLFORD D， et al. The erlangization method for Markovian fluid flows [J]. Ann Oper Res， 2008，160（1）：215-225.

[16]STANFORD D L， ATOUCHE G， WOOLFORD D， et al. Erlangized fluid queues with application to uncontrolled fire perimeter[J]. Stochastic Models， 2005，21（23）：631-642.

[17]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform with application to approximation[J]. Bell Syst Tech J， 1978，57（3）：669-710.

[18]JAGERMAN D L. An inversion technique for the Laplace transform[J]. Bell Syst Tech J， 1982，61（8）：1995-2002.

[19]ASMUSSEN S， KELLA O. A multi-dimensional martingale for Markov additive processes and its applications[J]. Adv Appl Probab， 2000，32（2）：376-393.

（编辑沈小玲）